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多边形与平行四边形
一.选择题
1.（2018•江苏苏州•3 分）如图，在△ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD= BC，过 AC 中点 E 作 EF∥CD
（点 F 位于点 E 右侧），且 EF=2CD，连接 DF．若 AB=8，则 DF 的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【分析】取 BC 的中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设 CD=x，则 EF=BC=2x，
证明四边形 EGDF 是平行四边形，可得 DF=EG=4．
【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG，
∵E 是 AC 的中点，∴EG 是△ABC 的中位线，∴EG= AB= =4，
设 CD=x，则 EF=BC=2x，∴BG=CG=x，∴EF=2x=DG，
∵EF∥CD，∴四边形 EGDF 是平行四边形，∴DF=EG=4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中
位线是本题的关键．
2.（2018•山东东营市•3 分）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长，交 AB
的延长线于点 F，AB=BF．添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可
选择的是（ ）
A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF15
【分析】正确选项是 D．想办法证明 CD=AB，CD∥AB 即可解决问题；
【解答】解：正确选项是 D．
理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，
∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，
∴CD=BF，
∵BF=AB，
∴CD=AB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分
∠EDC.∠BCD，则∠P=（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：∵在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠ECD+∠BCD=240°，
又∵DP、CP 分别平分∠EDC.∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP 中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°． 故选：
C．16
4. （2018•乌鲁木齐•4 分）一个多边形的内角和是 720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据内角和定理 180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得 n=6，
∴这个多边形的边数是 6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180°•（n﹣2），难度适中．
4. （2018•临安•3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉
紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中∠BAC= 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC= =108°，△ABC 是等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=36 度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n 边形的内角和为：180°（n﹣2）．
5. （2018•广西玉林•3 分）在四边形 ABCD 中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择
两个 条件使四边形 ABCD 为平行四边形的选法共有（ ）
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有 4 种，分别是：①②、③④、①③、③
④．
故选：B．
6. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，AE 平
分∠BAD，分别交 BC.BD 于点 E.P，连接 OE，∠ADC=60°，AB= BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD= ③S 平行四边形 ABCD=AB•AC④OE= AD⑤S△APO= ，正确的个数是（ ）17
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则 AB=BE=1，由有一个角是 60 度的等腰三
角 形 是 等 边 三 角 形 得 ： △ABE 是 等 边 三 角 形 ， 由 外 角 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 ：
∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE= AB= ，OE∥AB，根据勾股定理计算 OC= =
和 OD 的长，可得 BD 的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC= OE•OC= ， = ，代
入可得结论．
【解答】解：①∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，18
∴OE= AB= ，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC 中，OC= = ，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD 中，OD= = ，
∴BD=2OD= ，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE 是△ABC 的中位线，
∴OE= AB，
故④不正确；
⑤∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC= ，
∴S△AOE=S△EOC= OE•OC= = ，
∵OE∥AB，
∴ ，
∴ = ，
∴S△AOP= = = ；
故⑤正确；
本题正确的有：①②③⑤，4 个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、三角
形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE 是等边三角形是解决19
问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
7.（2018•福建 A 卷•4 分）一个 n 边形的内角和为 360°，则 n 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边
数的方程，解方程就可以求 n．
【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得：
（n﹣2）•180=360，
解得 n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的
关键．
8. （2018•福建 B 卷•4 分）一个 n 边形的内角和为 360°，则 n 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边
数的方程，解方程就可以求 n．
【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得：
（n﹣2）•180=360，
解得 n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的
关键．
7.（2018•贵州黔西南州•4 分）如图在▱ABCD 中，已知 AC=4cm，若△ACD 的周长为 13cm，则▱ABCD
的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【分析】根据三角形周长的定义得到 AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行
四边形的周长．
【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC 的周长为 13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，20
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为 2（AB+BC）=18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
8.（2018•贵州铜仁•4 分）如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是 360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）=3×360°
解得 n=8．
故选：A．
9.（2018•海南•3 分）如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，
BD=12，则△DOE 的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；
【解答】解：∵平行四边形 ABCD 的周长为 36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE 的周长为 9+6=15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三
角形中位线定理，属于中考常考题型．
14．(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一
个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是 40° ．21
【分析】根据外角的概念求出∠ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于 360°计算即可．
【解答】解：∵∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于 360°、外角的概念是解
题的关键．
15. （2018•乌鲁木齐•4 分）一个多边形的内角和是 720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据内角和定理 180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得 n=6，
∴这个多边形的边数是 6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180°•（n﹣2），难度适中．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）若一个多边形的每个外角都等于
30°，则这个多边形的边数为 12 ．
【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于 30°，
又∵多边形的外角和等于 360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等于 360°是解此题的关键．22
2. （2018·湖南郴州·3 分）一个正多边形的每个外角为 60°，那么这个正多边形的内角和是
720° ．
【分析】先利用多边形的外角和为 360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求
解．
【解答】解：这个正多边形的边数为 =6，
所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．
故答案为 720°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且 n 为整数）；多
边形的外角和等于 360 度．
3. （2018·湖南怀化·4 分）一个多边形的每一个外角都是 36°，则这个多边形的边数是
10 ．
【分析】多边形的外角和是固定的 360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于 36°，
∴多边形的边数为 360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是 360°．
4.（2018•江苏宿迁•3 分）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是
________.
【答案】8
【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360°，根据题意列出方程，解之即可.
【详解】设这个多边形边数为 n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为 360
度是解题的关键.
5.（2018•江苏无锡•2 分）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY 于
点 C，以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一
点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范
围是 2≤a+2b≤5 ．23
【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边形，得 EP=OD=a，
在 Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最小值的位置，可
得结论．
【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H，
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，
Rt△HEP 中，∠EPH=30°，∴EH= EP= a，∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2；
当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5，∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，
有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．
6.（2018•山东聊城市•3 分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边
形的内角和是 540°或 360°或 180° ．
【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可
能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，
边数增加 1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°=540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少 1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°=180°，
因而所成的新多边形的内角和是 540°或 360°或 180°．
故答案为：540°或 360°或 180°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所
得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．24
7.（2018•山东济宁市•3 分）在△ABC 中，点E，F 分别是边AB，AC 的中点，点D 在BC 边上，
连接DE，DF，EF，请你添加一个条件 D 是BC 的中点 ，使△BED 与△FDE 全25
等．
【解答】解：当D 是BC 的中点时，△BED≌△FDE，
∵E，F 分别是边AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
当E，D 分别是边AB，BC 的中点时，ED∥AC，
∴四边形BEFD 是平行四边形，
∴△BED≌△FDE， 故答案为：D 是BC 的中点．
8. （2018•上海•4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交
于点 F．设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为 +2 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DC=BF，故 AF=2AB=2DC，结合三
角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接 BD，FC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又 E 是边 BC 的中点，
∴ = = ，
∴EC=BE，即点 E 是 DF 的中点，
∴四边形 DBFC 是平行四边形，
∴DC=BF，故 AF=2AB=2DC，
∴ = + = +2 = +2 ．26
故答案是： +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法
则的应用是关键．
9. （2018•上海•4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果
从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和
是 度．
【分析】利根据题意得到 2 条对角线将多边形分割为 3 个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形
的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形．
所以该多边形的内角和是 3×180°=540°．
故答案为 540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且 n 为整数）．此公式
推导的基本方法是从 n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将 n 边形分割为（n﹣2）个三角形．
10. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则 AD 的取值范围是 2＜AD＜8 ．
【分析】如图，延长 BC 交 AD 的延长线于 E，作 BF⊥AD 于 F．解直角三角形求出 AE.AF 即可判断；
【解答】解：如图，延长 BC 交 AD 的延长线于 E，作 BF⊥AD 于 F．
在 Rt△ABE 中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在 Rt△ABF 中，AF= AB=2，27
∴AD 的取值范围为 2＜AD＜8，
故答案为 2＜AD＜8．
角形的中位线定理表示 AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，
证明△ENF≌△MNB，则 EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算 x 的值，可得 BC 的长．
【解答】解：设 EF=x，
∵点 E.点 F 分别是 OA.OD 的中点，
∴EF 是△OAD 的中位线，
∴AD=2x，AD∥EF，
∴∠CAD=∠CEF=45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC 是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
连接 BE，
∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°，
∴BM=EM=MC=x，
∴BM=FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN=MN= x，BN=FN= ，
Rt△BNM 中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴ ，
x=2 或﹣2 （舍），
∴BC=2x=4 ．
故答案为：4 ．28
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定
理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
11. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点 O，AB=OB，点 E.
点 F 分别是 OA.OD 的中点，连接 EF，∠CEF=45°，EM⊥BC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN= ，则线段 BC 的
长为 4 ．
【分析】设 EF=x，根据三
12.（2018•贵州贵阳•4分）如图，点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB.BC 上的点，且 AM BN ， 点 O
是正五边形的中心，则 MON 的度数是 度.
【解】方法一：特殊位置，即 OM AB，ON BC 时， MON 360 72
5
方法二：一般位置，作 OP AB，OQ BC ，如图所示：
易得： RtOPM ≌ RtOQN ，则 POM QON29
POQ POM MOQ
由
NOM NOQ MOQ
∴ MON POQ 360 72
5
13.（2018•海南•4 分）五边形的内角和的度数是 540° ．
【分析】根据 n 边形的内角和公式：180°（n﹣2），将 n=5 代入即可求得答案．
【解答】解：五边形的内角和的度数为：180°×（5﹣2）=180°×3=540°．
故答案为：540°．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．
14. （2018•上海•4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交
于点 F．设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为 +2 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DC=BF，故 AF=2AB=2DC，结合三
角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接 BD，FC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又 E 是边 BC 的中点，
∴ = = ，
∴EC=BE，即点 E 是 DF 的中点，30
∴四边形 DBFC 是平行四边形，
∴DC=BF，故 AF=2AB=2DC，
∴ = + = +2 = +2 ．
故答案是： +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法
则的应用是关键．
15. （2018•上海•4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如
果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和
是 度．
【分析】利根据题意得到 2 条对角线将多边形分割为 3 个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形
的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形．
所以该多边形的内角和是 3×180°=540°．
故答案为 540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且 n 为整数）．此公式
推导的基本方法是从 n 边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将 n 边形分割为（n﹣2）个三角形．
三.解答题
1.（2018•江苏宿迁•8 分）如图，在□ABCD 中，点 E.F 分别在边 CB.AD 的延长线上，且 BE＝DF，EF 分别与
AB.CD 交于点 G、H，求证：AG＝CH.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质得 AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条
件可得 AF=CE，根据 ASA 得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，31
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，∴AD+DF=CB+BE，即 AF=CE，
在△CEH 和△AFG 中， ，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边
平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么
AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可
能是等腰梯形．
【解答】解：（1）①④为论断时：
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形 ABCD 为平行四边形．
（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断．
3.（2018•江苏无锡•8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E.F 分别是边 BC.AD 的中点，求证：∠ABF=∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：在▱ABCD 中，AD=BC，∠A=∠C，
∵E.F 分别是边 BC.AD 的中点，∴AF=CE，
在△ABF 与△CDE 中，32
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于
中等题型
4.（2018•江苏淮安•8 分）已知：如图，▱ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别与 AD.BC 相交
于点 E.F．求证：AE=CF．
【 分 析 】 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AO=CO ， AD∥BC ， 进 而 得 出 ∠EAC=∠FCO ， 再 利 用 ASA 求 出
△AOE≌△COF，即可得出答案．
【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法
是解题关键．
5．（2018•临安•6 分）已知：如图，E.F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为 AE=CF，则两边同时加上 EF，得到 AF=CE，又因为 ABCD 是平行四边形，
得出 AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据 SAS 推出两三角形全等；33
（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到 DF∥EB．
【解答】证明：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+FE，即 AF=CE．
又 ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC．
∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF 与△CBE 中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC．
∴DF∥EB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.HL．
注意：AAA.SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相
等时，角必须是两边的夹角．
6.（2018•湖州•10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，BC 边上的点（不包括端
点），且 = =m，连结 AE，过点 D 作 DM⊥AE，垂足为点 M，延长 DM 交 AB 于点 F．
（1）如图 1，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连结 DH．
①求证：四边形 DHEC 是平行四边形；
②若 m= ，求证：AE=DF；
（2）如图 2，若 m= ，求 的值．
【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出 HE=DC，即可得出结论；
②先判断出 AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；34
（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出 CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG 进而判断出△FAD∽△EGA，即
可得出结论．
【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH∥CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴HE=DC，
∵EH∥DC，
∴四边形 DHEC 是平行四边形；
②∵ ，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵ ，HE=DC，
∴HE=DC，
∴ ，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；35
（2）如图 2，过点 E 作 EG⊥AB 于 G，
∵CA⊥AB，
∴EG∥CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴EG=CD，
设 EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴ =
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD 是解本题的关键．
7.（2018·黑龙江大庆·7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D.E 分别是 AB.AC 的中点，连接 CD，过
E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于 F．
（1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度．36
【分析】（1）由三角形中位线定理推知 ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互
平行得到四边形 DCFE 为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到 AB=2DC，即可得出四边形 DCFE 的周长
=AB+BC，故 BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；
【解答】（1）证明：∵D.E 分别是 AB.AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，
∴ED 是 Rt△ABC 的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 CDEF 是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形 DCFE 的周长=AB+BC，
∵四边形 DCFE 的周长为 25cm，AC 的长 5cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
8. （8 分）如图，点 B.F、C.E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交 BE 于 O．
求证：AD 与 BE 互相平分．
【分析】连接 BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得 AB=DE，依据 AB∥DE，即可得出四边形 ABDE 是平行37
四边形，进而得到 AD 与 BE 互相平分．
【解答】证明：如图，连接 BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AD 与 BE 互相平分．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结
论．
9. （2018·湖北省恩施·12 分）如图，已知抛物线交 x 轴于 A.B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（﹣1，
0），OC=2，OB=3，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为坐标平面内一点，以 B.C.D.P 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点 M 1.M2.M3 使得△M1BC.△M 2BC.△M 3BC 的面积均为定值 S，求出定值 S 及
M1.M2.M3 这三个点的坐标．38
【分析】（1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即
可；
（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平行四
边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可；
（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定
出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所求 M
坐标，且求出定值 S 的值即可．
【解答】解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
把 C（0，2）代入得：2=﹣3a，即 a=﹣ ，
则抛物线解析式为 y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2；
（2）抛物线 y=﹣ （x+1）（x﹣3）=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ，
∴D（1， ），
当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（4， ）；
当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（2，﹣ ）；
当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（﹣2， ）；
（3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，
把 B（3，0），C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴y=﹣ x+2，39
设与直线 BC 平行的解析式为 y=﹣ x+b，
联立得： ，
消去 y 得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b= ，即 y=﹣ x+ ，
此时交点 M1 坐标为（ ， ）；
可得出两平行线间的距离为 ，
同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y=﹣ x+ ，
联立解得：M2（ ， ﹣ ），M3（ ，﹣ ﹣ ），
此时 S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分
类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
10.（2018•福建 A 卷•8 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AD，BC 分别相交于点
E，F．求证：OE=OF．
【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结
论．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，40
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE 和△OCF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思
想的应用．
11.（2018•福建 B 卷•8 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AD，BC 分别相交于点
E，F．求证：OE=OF．
【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结
论．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE 和△OCF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思
想的应用．
12.( 2018•广西北海•8分）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E.F，且 BE=DF.
（1） 求证：▱ABCD 是菱形；
（2） 若 AB=5,AC=6，求▱ABCD 的面积。41
【解答】
证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
又∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD(ASA)．
∴AB=AD，
∴四边形 ABCD 是菱形．42
:
（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O
∵由（1）知四边形ABCD 是菱形，AC = 6．
∴AC⊥BD, AO=OC== AC = = × 6 = 3，
: :
∵AB=5,AO=3,
在 Rt△AOB 中，BO = √AB: − AO: = √5: − 3: = 4,
∴BD=2BO=8,
∴S▱ABCD == AC ∙ BD = = × 6 × 8 = 24
: :
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与
性质、面积计算．
【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，由题目 AE⊥BC，AF⊥DC 得出∠AEB=∠
AFD=90°，因为 BE=DF,由 ASA 证明△AEB≌△AFD，可得出 AB=AD,根据菱形
的判定，即可得出四边形ABCD 为菱形。
（2）由平行四边形的性质得出 AC⊥BD，AO=OC== AC=3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理
BO = √AB: − AO:可求 BD, 再根据菱形面积计算公式可求出答案。
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、
菱形的性质和判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.（2018•贵州贵阳•10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE
的中点， AB 与 AG 关于 AE 对称， AE 与 AF 关于 AG 对称，
（1）求证： AEF 是等边三角形；
（2）若 AB 2 ,求 AFD 的面积.43
证明（1：
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD ∥ BC
∵ AE BC
∴ AE AD 即 EAD 90
在 RtEAD 中
∵ F 是 ED 的中点
∴ AF 1 ED EF
2
∵ AE 与 AF 关于 AG 对称
∴ AE AF
∴ AE AF EF
∴ AEF 是等边三角形
（3）（1知 AEF 是等边三角形则 EAF AEF 60, EAG FAG 30
在 RtEAD 中, ADE 30
∵ AB 与 AG 关于 AE 对称
∴ BAE GAE 30
在 RtAEB 中, AB 2
则 AE AB cos BAE 2 cos 30 3
在 RtEAD 中， AD AE tan AEF 3 tan 60 3
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