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点直线与圆的位置关系
一.选择题
1.（2018•江苏徐州•2 分）⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系．
【解答】解：∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，则 5﹣2=3，∴⊙O1 和⊙O2 内切．
故选：B．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距
为 P：外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R﹣r＜P＜R+r；内切 P=R﹣r；内含 P＜R﹣r．
2.（2018•上海•4 分）如图，已知∠POQ=30°，点 A.B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙
A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，可得结
论．
【解答】解：设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9，
故选：A．2
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，
还利用了数形结合的思想，通过图形确定 OB 的取值范围．
3. （2018•湖州•4 分）如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD．若∠ABC=40°，则∠
BOD 的度数是 70° ．
【分析】先根据三角形内心的性质和切线的性质得到 OB 平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD= ∠ABC=20°，然后
利用互余计算∠BOD 的度数．
【解答】解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴OB 平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°﹣∠OBD=70°．
故答案为 70°．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形
顶点的连线平分这个内角．
4.（2018•嘉兴•3 分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）
A. 点在圆内. B. 点在圆上. C. 点在圆心上. D. 点在圆上或圆内.
【答案】D3
【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一
种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选 D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
5.（2018•福建 A 卷•4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若∠ACB=50°，
则∠BOD 等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6.（2018•福建 B 卷•4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若∠ACB=50°，
则∠BOD 等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠ABC=90°，4
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7. （2018 湖南湘西州 4.00 分）如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，AC.CD 是⊙O 的两条弦，且 CD∥AB，若⊙
O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【分析】由 AB 是圆的切线知 AO⊥AB，结合 CD∥AB 知 AO⊥CD，从而得出 CE=4，Rt△COE 中求得 OE=3 及
AE=8，在 Rt△ACE 中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为 E，
∵CD=8，
∴CE=DE= CD=4，
连接 OC，则 OC=OA=5，
在 Rt△OCE 中，OE= = =3，
∴AE=AO+OE=8，
则 AC= = =4 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径
定理．
8.（2018•上海•4 分）如图，已知∠POQ=30°，点 A.B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙A
与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）5
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，可得结
论．
【解答】解：设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9，
故选：A．
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，
还利用了数形结合的思想，通过图形确定 OB 的取值范围．
二.填空题6
1.（2018•江苏徐州•3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D．若∠
C=18°，则∠CDA= 126 度．
【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA 计算求
解．
【解答】解：连接 OD，则∠ODC=90°，∠COD=72°；
∵OA=OD，∴∠ODA=∠A= ∠COD=36°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．
【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
2.（2018•内蒙古包头市•3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点
D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合），连接 BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 115 度．
【分析】连接 OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】解：
连接 OC，
∵DC 切⊙O 于 C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是 130°，7
∴ 的度数是 360°﹣130°=230°，
∴∠BEC= =115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO 的度数是解此题的关键．
3. （2018•嘉兴•4 分.）如图,量角器的 度刻度线为 .将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量
角器相切于点 ,直尺另一边交量角器于点 ，量得 ,点 在量角器上的读数为 .则该直尺的宽度
为________
【答案】
【解析】【分析】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，根据圆周角定理有 根据垂径定理有：
解直角 即可.
【解答】连接 OC,OD,OC 与 AD 交于点 E，
直尺的宽度：
故答案为：
【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
4. （2018•广西玉林•3 分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm 的刻度尺的一
边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆8
盘的半径是 10 cm．
【分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：如图，
记圆的圆心为 O，连接 OB，OC 交 AB 于 D，
∴OC⊥AB，BD= AB，
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为 r，则 OD=r﹣2，OB=r，
在 Rt△BOD 中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为 10．
4. （2018·黑龙江大庆·3 分）在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且 AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 2 ．
【分析】先 利用勾股定理计算出 BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径= （A.b 为直角边，c 为斜
边）进行计算．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC= =8，
∴这个三角形的内切圆半径= =2．
故答案为 2．
5. （2018•广东•3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，
则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OE⊥BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公
式，利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算
的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接 OE，如图，
∵以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形 OECD 为正方形，9
∴由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π，
∴阴影部分的面积= ×2×4﹣（4﹣π）=π．
故答案为 π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
6. （2018 湖南长沙 3.00 分）如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延
长线交 BC 于点 C，则∠OCB= 50 度．
【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB
的度°°
【解答】解：
∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC 是⊙O 的切线，B 为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
三.解答题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·8 分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC
延长线上一点 G，作 GD⊥AO 于点 D，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM．
（1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求 MF 的长．10
【分析】（1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得 MC=MG=ME，所
以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判
断 CM 为⊙O 的切线；
（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出 CE，再计算出 EF，
然后计算 ME﹣EF 即可．
【解答】解：（1）CM 与⊙O 相切．理由如下：
连接 OC，如图，
∵GD⊥AO 于点 D，
∴∠G+∠GBD=90°，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∵M 点为 GE 的中点，
∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，
∵OB=OC，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM 为⊙O 的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A，
∴∠G=∠A，
∵∠4=2∠A，
∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，
∴∠EMC=∠4，11
而∠FEC=∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴ = = ，即 = = ，
∴CE=4，EF= ，
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d：直线 l 和⊙O 相
交⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切⇔d=r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理．
2. （2018·湖北随州·8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM⊥AB 于点 O，
分别交 AC.CN 于 D.M 两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长．
【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接 OC，
∵CN 为⊙O 的切线，12
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知 AB=5×2=10，AC=4 ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= ，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴ ，即 ，
可得：OD=2.5，
设 MC=MD=x，在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x= ，
即 MC= ．
【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
3. （2018·湖北襄阳·8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点 E
作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若 AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OE．推知 CD 为⊙O 的切线，即可证明 DA=DE；
（2）利用分割法求得阴影部分的面积．13
【解答】解：（1）证明：连接 OE.OC．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC 为⊙O 的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE 为半径，
∴CD 为⊙O 的切线，
∵AD 切⊙O 于点 A，
∴DA=DE；
（2）如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4 ．
∵BC= =2 ，
∴BC﹣AD=2 ，
∴BC=3 ．
在直角△OBC 中，tan∠BOE= = ，
∴∠BOC=60°．
在△OEC 与△OBC 中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°．
∴S 阴影部分=S 四边形 BCEO﹣S 扇形 OBE=2× BC•OB﹣ =9 ﹣3π．14
【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形
的判定与性质进行计算．
4. （2018·湖南郴州·8 分）已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是⊙O 的弦，∠
AEC=30°．
（1）求证：直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接 OA，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点 A 在⊙O 上，
∴直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）连接 OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE 于 M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在 Rt△AOM 中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2 ，
∴AE=2AM=4 ．15
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，
圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．
5. （2018·湖南怀化·12 分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，点 F，C 是⊙O 上两点，连接 AC，AF，
OC，弦 AC 平分∠FAB，∠BOC=60°，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D．
（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留）；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线．
【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知 AD∥OC，由于 CD⊥AF，所以 CD⊥OC，所以 CD 是⊙O 的切线．
【解答】解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S 扇形 OBC= =
（2）∵AC 平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C 在圆上，16
∴CD 是⊙O 的切线
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等
题型．
6.（2018•江苏宿迁•10 分）如图，AB.AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作⊙O 的切线与 OD
的延长线交于点 P，PC.AB 的延长线交于点 F.
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段 CF 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5 .
【分析】试题分析：（1）、连接 OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性
质定理可以得到：∠OCP=90°，即 OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知 OC⊥PE，然后通过
解直角三角函数，求得 OF 的值，再减去圆的半径即可．
试题解析：（1）、连接 OC，
∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，∴AD=CD，∴PA=PC，
在△OAP 和△OCP 中， ，
∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即 OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线．
（2）、∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，
∵PC 是⊙O 的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB= AB=5，∴OF= =10，
∴BF=OF﹣OB=5．17
【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形
7.（2018•江苏淮安•10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC
的中点．
（1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为 2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1 ）连接 OE.OD ，如图，根据切线的性质得∠OAC=90° ，再证明△AOE ≌△DOE 得到∠ODE= ∠
OAE=90°，然后根据切线的判定定理得到 DE 为⊙O 的切线；
（2）先计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线 DE 与⊙O 相切．理由如下：
连接 OE.OD，如图，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE 和△DOE 中
，
∴△AOE≌△DOE，18
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）∵点 E 是 AC 的中点，
∴AE= AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2• ×2×2.4﹣ =4.8﹣ π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
8.（2018•江苏苏州•10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D，CE
垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连接 OC．
（1）求证：CD=CE；
（2）若 AE=GE，求证：△CEO 是等腰直角三角形．
【分析】（1）连接 AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据 AAS 证明△CDA≌△CEA
（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角
三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则 3x+3x+2x=180，
可得结论．
【解答】证明：（1）连接 AC，
∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，19
∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，
∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，
∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°，
在△CDA 和△CEA 中，
∵ ，
∴△CDA≌△CEA（AAS），
∴CD=CE；
（2）证法 一：连接 BC，
∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，
∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，
∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，
∴∠AOC=2∠F=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，
∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，
∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，
∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°，
∴△CEO 是等腰直角三角形．
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以
及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，本题相等的角较多，注意各角之间的
关系，注意掌握数形结合思想的应用．
9.（2018•内蒙古包头市•10 分）如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，以点 A 为圆心，AC 长为半径的圆交 AB
于点 D，BA 的延长线交⊙A 于点 E，连接 CE，CD，F 是⊙A 上一点，点 F 与点 C 位于 BE 两侧，且∠FAB=∠20
ABC，连接 BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若 BC=2，BD=1，求 CE 的长及 sin∠ABF 的值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出△BDC∽△BCE 得出比例式求出 BE=4，DE=3，利用勾股定理求出 CD，CE，再判断出△AFM∽△
BAC，进而判断出四边形 FNCA 是矩形，求出 FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出 BF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE 是⊙A 的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠BEC+∠CDE=90°，
∵AD=AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∴∠BCD=∠BEC，
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，
∴△BDC∽△BCE，
∴ ，
∵BC=2，BD=1，
∴BE=4，EC=2CD，
∴DE=BE﹣BD=3，
在 Rt△DCE 中，DE2=CD2+CE2=9，
∴CD= ，CE= ，
过点 F 作 FM⊥AB 于 M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，
∴△AFM∽△BAC，
∴ ，
∵DE=3，21
∴AD=AF=AC= ，AB= ，
∴FM= ，
过点 F 作 FN⊥BC 于 N，
∴∠FNC=90°，
∵∠FAB=∠ABC，
∴FA∥BC，
∴∠FAC=∠ACB=90°，
∴四边形 FNCA 是矩形，
∴FN=AC= ，NC=AF= ，
∴BN= ，
在 Rt△FBN 中，BF= ，
在 Rt△FBM 中，sin∠ABF= ．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角
函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
10.（2018•山东烟台市•10 分）如图，已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C，E 在⊙D 上，
点 B，D 在⊙E 上．F 为 上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M．
（1）若∠EBD 为 α，请将∠CAD 用含 α 的代数式表示；
（2）若 EM=MB，请说明当∠CAD 为多少度时，直线 EF 为⊙D 的切线；
（3）在（2）的条件下，若 AD= ，求 的值．22
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再
根据三角形内角和定理可得结论；
（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同
理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；
（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE 是等边三角形，得 CD=CE=DE=EF=AD=
，求 EM=1，MF=EF﹣EM= ﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE= ，代入化简可得结
论．
【解答】解：（1）连接 CD.DE，⊙E 中，∵ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD=α，
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，
⊙D 中，∵DC=DE=AD，
∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，
△ACB 中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴∠CAD= = ；
（2）设∠MBE=x，
∵EM=MB，
∴∠EMB=∠MBE=x，
当 EF 为⊙D 的切线时，∠DEF=90°，
∴∠CED+∠MEB=90°，
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，
△ACB 中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，
∴∠CAD=45°；
（3）由（2）得：∠CAD=45°；
由（1）得：∠CAD= ；
∴∠MBE=30°，
∴∠CED=2∠MBE=60°，
∵CD=DE，
∴△CDE 是等边三角形，
∴CD=CE=DE=EF=AD= ，
Rt△DEM 中，∠EDM=30°，DE= ，
∴EM=1，MF=EF﹣EM= ﹣1，
△ACB 中，∠NCB=45°+30°=75°，23
△CNE 中，∠CEN=∠BEF=30°，
∴∠CNE=75°，
∴∠CNE=∠NCB=75°，
∴EN=CE= ，
∴ = = =2+ ．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键
是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.（2018•山东济宁市•8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，作 ED⊥EB 交 AB
于点 D，⊙O 是△BED 的外接圆．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知⊙O 的半径为 2.5，BE=4，求 BC，AD 的长．
【分析】（1）连接 OE，由 OB=OE 知∠OBE=∠OEB.由 BE 平分∠ABC 知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从
而得出 OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC 得 = ，据此可求得 BC 的长度，再证△AOE∽△ABC 得 = ，据此可得 AD 的长．
【解答】解：（1）如图，连接 OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE 平分∠ABC，24
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即 OE⊥AC，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴ = ，即 = ，
∴BC= ；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得：AD= ．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性
质．
12.（2018•山东东营市•8 分）如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若 BD= AD，AC=3，求 CD 的长．
【分析】（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180°，利
用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；25
（2）由∠C=∠C.∠CAD=∠CDB 可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合 BD= AD.AC=3，即可求出 CD
的长．
【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴ = ．
∵BD= AD，
∴ = ，
∴ = ，
又∵AC=3，
∴CD=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等
角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出 ．
13. （2018•达州•8 分）已知：如图，以等边△ABC 的边 BC 为直径作⊙O，分别交 AB，AC 于点 D，E，过点 D
作 DF⊥AC 交 AC 于点 F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为 8，求由 、DF、EF 围成的阴影部分面积．26
【分析】（1）连接 CD.OD，先利用等腰三角形的性质证 AD=BD，再证 OD 为△ABC 的中位线得 DO∥AC，根据 DF⊥
AC 可得；
（2）连接 OE.作 OG⊥AC，求出 EF、DF 的长及∠DOE 的度数，根据阴影部分面积=S 梯形 EFDO﹣S 扇形 DOE 计算可
得．
【解答】解：（1）如图，连接 CD.OD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CDB=90°，即 CD⊥AB，
又∵△ABC 是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接 OE.作 OG⊥AC 于点 G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形 OGFD 是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD 和△OCE 均为等边三角形，27
∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，
∴EG= CE=2.DF=OG=OCsin60°=2 ，∠DOE=60°，
∴EF=FG﹣EG=2，
则阴影部分面积为 S 梯形 EFDO﹣S 扇形 DOE
= ×（2+4）×2 ﹣
=6 ﹣ ．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关
系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为 90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应
的线段长．
14. （2018•遂宁•10 分）如图，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的切线 PA 切⊙O 于点 A，连接 PO 并延长，与⊙O 交于
C.D 两点，M 是半圆 CD 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC.CM．
（1）求证：CM2=MN•MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求 CM 的长．
【分析】（1）由 = 知∠CAM=∠DCM，根据∠CMA=∠NMC 证△AMC∽△CMN 即可得；
（2）连接 OA.DM，由 Rt△PAO 中∠P=30°知 OA= PO= （PC+CO），据此求得 OA=OC=2，再证△CMD 是等腰直
角三角形得 CM 的长．
【解答】解：（1）∵⊙O 中，M 点是半圆 CD 的中点，
∴ = ，
∴∠CAM=∠DCM，
又∵∠CMA=∠NMC，
∴△AMC∽△CMN，
∴ = ，即 CM2=MN•MA；
（2）连接 OA.DM，28
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=30°，
∴OA= PO= （PC+CO），
设⊙O 的半径为 r，
∵PC=2，
∴r= （2+r），
解得：r=2，
又∵CD 是直径，
∴∠CMD=90°，
∵CM=DM，
∴△CMD 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△CMD 中，由勾股定理得 CM2+DM2=CD2，即 2CM2=（2r）2=16，
则 CM2=8，
∴CM=2 ．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定
和性质等知识点．
15. （2018•资阳•9 分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 P 是底边 BC 上一点且满足 PA=PB，⊙O 是△PAB
的外接圆，过点 P 作 PD∥AB 交 AC 于点 D．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若 BC=8，tan∠ABC= ，求⊙O 的半径．
【分析】（1）先根据圆的性质得： ，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以 PD29
是⊙O 的切线；
（2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设 CG= ，BG=2x，利用勾股定理计算 x= ，
设 AC=a，则 AB=a，AG= ﹣a，在 Rt△ACG 中，由勾股定理列方程可得 a 的值，同理设⊙O 的半径为 r，
同理列方程可得 r 的值．
【解答】（1）证明：如图 1，连接 OP，
∵PA=PB，
∴ ，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，过 C 作 CG⊥BA，交 BA 的延长线于 G，
Rt△BCG 中，tan∠ABC= ，
设 CG= ，BG=2x，
∴BC= x，
∵BC=8，即 x=8，
x= ，
∴CG= x= ，BG=2x= ，
设 AC=a，则 AB=a，AG= ﹣a，
在 Rt△ACG 中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，
∴ ，
a=2 ，
∴AB=2 ，BE= ，
Rt△BEP 中，同理可得：PE= ，
设⊙O 的半径为 r，则 OB=r，OE=r﹣ ，
由勾股定理得： ，30
r= ，
答：⊙O 的半径是 ．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算，利
用勾股定理列方程是解题的关键．
15. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直径的⊙O 交 AG 于点 D，
过点 D 作 AH 的垂线，垂足为点 C，交 AF 于点 B．
（1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=2CD，设⊙O 的半径为 r，求 BD 的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC，证明 OD⊥CB，可得结论；
（2）在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，证明△ACD∽△ADE，表示 a= ，由平行线分线段成比
例定理得： ，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AG 是∠HAF 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，31
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即 OD⊥CB，
∵D 在⊙O 上，
∴直线 BC 是⊙O 的切线；（4 分）
（2）解：在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，
连接 DE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴ ，
即 ，
∴a= ，
由（1）知：OD∥AC，
∴ ，即 ，
∵a= ，解得 BD= r．（10 分）
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决
问题是关键．
16. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直径的⊙O 交 AG 于点 D，
过点 D 作 AH 的垂线，垂足为点 C，交 AF 于点 B．
（1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=2CD，设⊙O 的半径为 r，求 BD 的长度．32
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC，证明 OD⊥CB，可得结论；
（2）在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，证明△ACD∽△ADE，表示 a= ，由平行线分线段成比
例定理得： ，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AG 是∠HAF 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即 OD⊥CB，
∵D 在⊙O 上，
∴直线 BC 是⊙O 的切线；（4 分）
（2）解：在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，
连接 DE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴ ，
即 ，
∴a= ，
由（1）知：OD∥AC，33
∴ ，即 ，
∵a= ，解得 BD= r．（10 分）
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决
问题是关键．
18. （2018•金华、丽水•8 分） 如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分
别与 BC,AB 相交于点 D,E，连结 AD.已知∠CAD=∠B.
（1）求证：AD 是⊙O 的切线.
（2）若 BC=8，tanB= ,求⊙O 的半径.
【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证得；
此题即证∠ADO=90°；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，求出相关结论，由 BC=8，tanB=
不难得出 AC，AB 的长度；而 tan∠1=tanB= ，同样可求出 CD，AD 的长度；设半径为 r，在 Rt△ADO 中，由
勾股定理构造方程解出半径 r 即可。
19. （2018•贵州安顺•12 分） 如图，在 中， ，为 的中点， 与半圆相切于点.
（1）求证： 是半圆所在圆的切线；
（2）若 ， ，求半圆所在圆的半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）半圆所在圆的半径是 .
【解析】分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得 OA，根据角平分线的性质，可得 OE，根据切线的判定，
1
2
E
O
A
BDC34
可得答案；
（2）根据余弦，可得 OB 的长，根据勾股定理，可得 OA 的长，根据三角形的面积，可得 OE 的长．
详解：（1）如图 1，作 于，连接 、 ，
∵ ，为 的中点，
∴ .
∵ 与半圆相切于点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 经过圆半径的外端，∴ 是半圆所在圆的切线；
（2）∵ ，是 的中点，∴ ，
由 ， ，得∴ .
由勾股定理，得 .
由三角形的面积，得 ，
，半圆所在圆的半径是 .
点睛：本题考查了切线的判定与性质，利用切线的判定是解题关键，利用面积相等得出关于 OE 的长是解题
关键．
20. （2018•广西玉林•9 分）如图，在△ABC 中，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，∠DAC=∠B．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）点 E 是 AB 上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B= ，⊙O 的半径是 4，求 EC 的长．35
【分析】（1）欲证明 AC 是切线，只要证明 AB⊥AC 即可；
（2）设 EC=EB=x，在 Rt△AEC 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC 是⊙O 的切线．
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设 EC=EB=x，
在 Rt△ABC 中，tan∠B= = ，AB=8，
∴AC=4，
在 Rt△AEC 中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（8﹣x）2+42，
解得 x=5，
∴CE=5．
21. （2018•广西南宁•10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与 AB 相交于点 E，过点 E
作 EF⊥BC，垂足为 F，延长 CD 交 GB 的延长线于点 P，连接 BD．
（1）求证：PG 与⊙O 相切；
（2）若 = ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8，PD=OD，求 OE 的长．
【分析】（1）要证 PG 与⊙O 相切只需证明∠OBG=90°，由∠A 与∠BDC 是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO 可
得∠CBG=∠DBO，结合∠DBO+∠OBC=90°即可得证；36
（2 ）求 需将 BE 与 OC 或 OC 相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作 OM⊥AC. 连接 OA ，证
△BEF∽△OAM 得 = ，由 AM= AC.OA=OC 知 = ，结合 = 即可得；
（3）Rt△DBC 中求得 BC=8 、∠DCB=30°，在 Rt△EFC 中设 EF=x，知 EC=2x、FC= x、BF=8 ﹣ x，
继而在 Rt△BEF 中利用勾股定理求出 x 的，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接 OB，则 OB=OD，
∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC.∠BDC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDC，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴∠DBO+∠OBC=90°，
∴∠GBC+∠OBC=90°，
∴∠GBO=90°，
∴PG 与⊙O 相切；
（2）过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，连接 OA，
则∠AOM=∠COM= ∠AOC，
∵ = ，
∴∠ABC= ∠AOC，
又∵∠EFB=∠OGA=90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴ = ，
∵AM= AC，OA=OC，37
∴ = ，
又∵ = ，
∴ =2× =2× = ；
（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在 Rt△DBC 中，BC= =8 ，
又∵OD=OB，
∴△DOB 是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴ = ， = ，
∴可设 EF=x，则 EC=2x、FC= x，
∴BF=8 ﹣ x，
在 Rt△BEF 中，BE2=EF2+BF2，
∴100=x2+（8 ﹣ x）2，
解得：x=6± ，
∵6+ ＞8，舍去，
∴x=6﹣ ，
∴EC=12﹣2 ，
∴OE=8﹣（12﹣2 ）=2 ﹣4．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性
质、直角三角形的性质等知识点．
22. （2018·黑龙江齐齐哈尔·8 分）如图，以△ABC 的边 AB 为直径画⊙O，交 AC 于点 D，半径 OE∥BD，连
接 BE，DE，BD，设 BE 交 AC 于点 F，若∠DEB=∠DBC．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若 BF=BC=2，求图中阴影部分的面积．38
【分析】（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；
（2）连接 OD，分别求出三角形 DOB 面积和扇形 DOB 面积，即可求出答案．
【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，
∴∠A=∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD=90°，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）连接 OD，
∵BF=BC=2，且∠ADB=90°，
∴∠CBD=∠FBD，
∵OE∥BD，
∴∠FBD=∠OEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠CBD=∠OEB=∠OBE= ∠ADB= 90°=30°，
∴∠C=60°，
∴AB= BC=2 ，
∴⊙O 的半径为 ，
∴阴影部分的面积=扇形 DOB 的面积﹣三角形 DOB 的面积= ．．39
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，直角三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+∠DBC=90°
和分别求出扇 形 DOB 和三角形 DOB 的面积．
23. （2018·湖北省恩施·10 分）如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点
作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BE⊥AB，OE∥AD 交 BE 于 E 点，连接 AE.DE.AE 交 CD 于 F 点．
（1）求证：DE 为⊙O 切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，sin∠ADP= ，求 AD；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图 1，连接 OD.BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则 AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM=DM，
证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论；
（2）设 AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2 a，在直角△OPD 中，根据勾股定理列方程
可得：32=（3﹣a）2+（2 a）2，解出 a 的值可得 AD 的值；
（3）先证明△APF∽△ABE，得 ，由△ADP∽△OEB，得 ，可得 PD=2PF，可得结论．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD.BD，BD 交 OE 于 M，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE 为⊙O 切线；
（2）设 AP=a，40
∵sin∠ADP= = ，
∴AD=3a，
∴PD= = =2 a，
∵OP=3﹣a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2 a）2，
9=9﹣6a+a2+8a2，
a1= ，a2=0（舍），
当 a= 时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴ ，
∴PF= ，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴ ，
∴PD= ，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．41
【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点
的应用，难度适中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键．
24. （2018•广西北海•10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与 AB 相
交于点 E ， 过 点 E 作 EF⊥BC ，垂足为 F ，延长 CD 交 GB 的延长线于点 P， 连 接 BD。
（1） 求证： PG与⊙O 相切；
（2） 若 EF =
5，求 BE 的值；
AC 8 OC
（3） 在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8， PD = OD，求OE 的长.
【答案】】解：（1）证：
如图 1，连接 OB ,则 OB = OD
∴∠BDC = ∠DBO
∵弧 BC=弧 BC
∴∠A = ∠BDC
∴∠A = ∠DBO
又∵∠CBG=∠A
∴∠CBG = ∠DBO
∵CD 是⊙O 直径
∴∠DBO + ∠OBC = 90°
∴∠CBG + ∠OBC = 90°
∴∠OBG = 90° 点 B 在圆上，42
∴ PG 与⊙O 相切43
2
（2）方法一：
如 图 2 过 O 作 OM ⊥AC 于 点 M
AM = 1 AC
2
∵弧 AC =弧 AC
∴∠ABC = 1 ∠AOC
2
又∵∠EFB =∠OGA = 90°
∴ ΔBEF ∽ ΔOAM
, 链 接 OA ， 则 ∠AOM =∠COM = 1∠AOC ，
M
∴ EF = BE
AM OA
∵ AM = 1 AC , OA = OC
2
∴ EF = BE
1 AC OC
2
又 ∵ EF =
5
AC 8
∴ BE = 2× EF = 2× 5 = 5
OC AC 8 4
方法二：44
∵CD 是⊙O 直径
∴∠DBC = 90°
∵ EF ⊥ BC
∴∠EFC = 90°
又 ∵ ∠DCB =∠ECF
∴∆DCB ∽ ∆ECF
∴ EF = EC ①
DB DC45
又∵∠ BDE =∠ EAC
∠DEB = ∠AEC
∴∆DEB ∽ ∆AEC
∴ DB = BE ②
AC EC
①×② 得 ：∴ EF × DB = EC × BE
DB AC
即 ∴ EF = BE
AC DC
DC EC
∴ BE = 5
DC 8
又∵ DC = 2OC
∴ BE = 5 2OC
8
∴ BE = 5
OC 4
（3）∵ PD = OD ,∠PDO = 90°
∴ BD = OD = 8
在 Rt∆DBC 中， BC = = 8
又 ∵ OD = OB
∴∆DOB 是等边三角形
∴∠DOB = 60°
∵∠DOB =∠OBC +∠OCB , OB = OC
∴∠OCB = 30°
∴ EF = 1 ， FC =
CE 2 EF46
∴可设 EF = x, EC = 2x, FC = 3x
∴ BF = 8 − 3x
在 Rt∆BEF 中， BE2 = EF 2 + BF 2
∴100 = x2 + (8
解得： x = 6 ±
− 3x)247
∵!6 +
∴ x = 6 −
> 8，舍去
∴ EC = 12 − 2
∴OE = 8 − (12 − 2
13 )= 2 − 448
【考点】切线的性质和判断；相似三角形
【解析（1）要证为切线只需证明∠OBG 为 90 度，∠A 与 ∠BDC 为同弧所对圆
周角相等， 又 ∠BDC = ∠DBO ， 得 ∠CBG = ∠DBO 即可证明。
（2）通过证明 2 组三角形相似，建立比例关系，消元后，再在直角三角形 BEF 中
利用勾股定理求解即可。
【点评】本题第一问比较常规，第二问需要建立相似比之间的数量关系，第三问需
要转化到一个直角三角形中利用勾股定理解题，还要对两个解进行处理，思路复杂，而
且计算量较大， 属于较难的题目。
25.（2018•广西贵港•8 分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 AB=BC=CD，AB∥CD，连接
BD．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=10，cos∠BAC= ，求 BD 的长及⊙O 的半径．
【分析】（1）如图 1，作直径 BE，半径 OC，证明四边形 ABDC 是平行四边形，得∠A=∠D，
由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以 BD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，根据三角函数设 EC=3x，EB=5x，则 BC=4x 根据 AB=BC=10=4x，得 x 的值，求
得⊙O 的半径为 ，作高线 CG，根据等腰三角形三线合一得 BG=DG，根据三角函数可得结
论．
【解答】（1）证明：如图 1，作直径 BE，交⊙O 于 E，连接 EC.OC，
则∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
∴∠A=∠D，
∵OE=OC，49
∴∠E=∠OCE，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD=90°，
即∠EBD=90°，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，∵cos∠BAC=cos∠E= ，
设 EC=3x，EB=5x，则 BC=4x，
∵AB=BC=10=4x，
x= ，
∴EB=5x= ，
∴⊙O 的半径为 ，
过 C 作 CG⊥BD 于 G，
∵BC=CD=10，
∴BG=DG，
Rt△CGD 中，cos∠D=cos∠BAC= ，
∴ ，
∴DG=6，
∴BD=12．50
【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此
线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据
三角函数的比设未知数，列方程解决问题．
26.（2018•贵州黔西南州•12 分）如图，CE 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点 C，连接 OB，作 ED
∥OB 交⊙O 于点 D，BD 的延长线与 CE 的延长线交于点 A．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 1，tan∠DEO= ，tan∠A= ，求 AE 的长．
【分析】（1）连接 OD，由 ED∥OB，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠ODB=
∠OCB，而由 BC 切⊙O 于点 C 得出∠OCB=90°，那么∠ODB=90°，问题得证；
（2）根据三角函数 tan∠DEO=tan∠2= = ，得出 BC= OC= ，再由 tan∠A= = ，
得出 AC=4BC=4 ，那么 AE=AC﹣CE=4 ﹣2．
【解答】解：（1）连接 OD，如图．
∵ED∥OB，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2．
在△DOB 与△COB 中，51
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠ODB=∠OCB，
∵BC 切⊙O 于点 C，
∴∠OCB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2= = ，
∵⊙O 的半径为 1，OC=1，
∴BC= ，
tan∠A= = ，
∴AC=4BC=4 ，
∴AE=AC﹣CE=4 ﹣2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，掌
握各定理是解题的关键．
27.（2018•贵州铜仁•12 分）如图，在三角形 ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以 BC 为直径作⊙O
交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，直线 DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交 CB 的延长线于点 E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求 tan∠E 的值．52
【分析】（1）连接 OC，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质
得：D 为 AB 的中点，所以 OD 是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质
可得结论；
（2）如图，连接 BG，先证明 EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG 的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接 OC，CD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD 是△ABC 的中位线
∴OD∥AC，
∵DF 为⊙O 的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接 BG，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BGC=90°，
∵∠EFC=90°=∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC 中，∵BD=3，BC=5，
∴CD=4，
S△ABC= ，
6×4=5BG，
BG= ，53
由勾股定理得：CG= = ，
∴tan∠CBG=tan∠E= = = ．
28．（2018 年湖南省娄底市）如图，C.D 是以 AB 为直径的⊙O 上的点， = ，弦 CD 交
AB 于点 E．
（1）当 PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；
（3）已知 OA=4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长．
【分析】（1）由 AB 是⊙O 的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由 PB 是⊙O 的切线知∠PBD+∠
ABD=90°，据此可得答案；
（2）连接 OC，设圆的半径为 r，则 OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE 得 DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，
由 = 知 ∠ AOC= ∠ BOC=90° ， 根 据 勾 股 定 理 知 CE2=OE2+r2.BC2=2r2 ， 据 此 得
BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出 BC=4 、CE=2 ，根据 BC2﹣CE2=CE•DE 计算可得．
【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，
∵PB 是⊙O 的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠PBD；54
（2）∵∠A=∠C.∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ = ，即 DE•CE=AE•BE，
如图，连接 OC，
设圆的半径为 r，则 OA=OB=OC=r，
则 DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，
∵ = ，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，
则 BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2=DE•CE；
（3）∵OA=4，
∴OB=OC=OA=4，
∴BC= =4 ，
又∵E 是半径 OA 的中点，
∴AE=OE=2，
则 CE= = =2 ，
∵BC2﹣CE2=DE•CE，
∴（4 ）2﹣（2 ）2=DE•2 ，
解得：DE= ．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、
相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
29．(2018 湖南省邵阳市)（8 分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，过点 B
作 BD⊥CD，垂足为点 D，连结 BC．BC 平分∠ABD．55
求证：CD 为⊙O 的切线．
【分析】先利用 BC 平分∠ABD 得到∠OBC=∠DBC，再证明 OC∥BD，从而得到 OC⊥CD，然后
根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵BC 平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD 为⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
30. （2018 湖南长沙 9.00 分）如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，
CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3．
（1）求 CE 的长；
（2）求证：△ABC 为等腰三角形．
（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．
【分析】（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；
（2）通过证明△ABD≌△CAD 得到 AB=AC；
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半
径为 r，在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得 R= ，则 PD= ，再利用56
面积法求出 r= ，即 QD= ，然后计算 PD+QD 即可．
【解答】（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD 为△BCE 的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△CAD，
∴AB=AC，
∴△ABC 为等腰三角形．
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，
在 Rt△ABD 中，AB= =5，
设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，
在 Rt△PBD 中，（R﹣3）2+42=R2，解得 R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ •r•5+ •r•8+ •r•5= •3•8，解得 r= ，
即 QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 ．57
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形
的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外
接圆．
31. （2018 湖南张家界 6.00 分）如图，点 P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点，且 AB=4，点 M
为 上一个动点（不与 A，B 重合），射线 PM 与⊙O 交于点 N（不与 M 重合）
（1）当 M 在什么位置时，△MAB 的面积最大，并求岀这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．
【分析】（1）当 M 在弧 AB 中点时，三角形 MAB 面积最大，此时 OM 与 AB 垂直，求出此时三
角形面积最大值即可；
（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
【解答】解：（1）当点 M 在 的中点处时，△MAB 面积最大，此时 OM⊥AB，
∵OM= AB= ×4=2，
∴S△ABM= AB•OM= ×4×2=4；
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，
∴△PAN∽△PMB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定方法
是解本题的关键．
32. （2018•达州•8 分）已知：如图，以等边△ABC 的边 BC 为直径作⊙O，分别交 AB，AC 于
点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于点 F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为 8，求由 、DF、EF 围成的阴影部分面积．58
【分析】（1）连接 CD.OD，先利用等腰三角形的性质证 AD=BD，再证 OD 为△ABC 的中位线得
DO∥AC，根据 DF⊥AC 可得；
（2）连接 OE.作 OG⊥AC，求出 EF、DF 的长及∠DOE 的度数，根据阴影部分面积=S梯形 EFDO﹣S
扇形 DOE 计算可得．
【解答】解：（1）如图，连接 CD.OD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CDB=90°，即 CD⊥AB，
又∵△ABC 是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接 OE.作 OG⊥AC 于点 G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形 OGFD 是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD 和△OCE 均为等边三角形，59
∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，
∴EG= CE=2.DF=OG=OCsin60°=2 ，∠DOE=60°，
∴EF=FG﹣EG=2，
则阴影部分面积为 S 梯形 EFDO﹣S 扇形 DOE
= ×（2+4）×2 ﹣
=6 ﹣ ．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直
线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为 90°即可．注意利用特
殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
33.（2018•遂宁•10 分）如图，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的切线 PA 切⊙O 于点 A，连接 PO 并延
长，与⊙O 交于 C.D 两点，M 是半圆 CD 的中点，连接 AM 交 CD 于点 N，连接 AC.CM．
（1）求证：CM2=MN•MA；
（2）若∠P=30°，PC=2，求 CM 的长．
【分析】（1）由 = 知∠CAM=∠DCM，根据∠CMA=∠NMC 证△AMC∽△CMN 即可得；
（2）连接 OA.DM，由 Rt△PAO 中∠P=30°知 OA= PO= （PC+CO），据此求得 OA=OC=2，再
证△CMD 是等腰直角三角形得 CM 的长．
【解答】解：（1）∵⊙O 中，M 点是半圆 CD 的中点，
∴ = ，
∴∠CAM=∠DCM，
又∵∠CMA=∠NMC，
∴△AMC∽△CMN，
∴ = ，即 CM2=MN•MA；
（2）连接 OA.DM，60
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=30°，
∴OA= PO= （PC+CO），
设⊙O 的半径为 r，
∵PC=2，
∴r= （2+r），
解得：r=2，
又∵CD 是直径，
∴∠CMD=90°，
∵CM=DM，
∴△CMD 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△CMD 中，由勾股定理得 CM2+DM2=CD2，即 2CM2=（2r）2=16，
则 CM2=8，
∴CM=2 ．
【点评】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相
似三角形的判定和性质等知识点．
34. （2018•资阳•9 分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 P 是底边 BC 上一点且满足
PA=PB，⊙O 是△PAB 的外接圆，过点 P 作 PD∥AB 交 AC 于点 D．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若 BC=8，tan∠ABC= ，求⊙O 的半径．
【分析】（1）先根据圆的性质得： ，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP61
⊥PD，所以 PD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设 CG= ，BG=2x，利用勾股定
理计算 x= ，设 AC=a，则 AB=a，AG= ﹣a，在 Rt△ACG 中，由勾股定理列方程可得 a
的值，同理设⊙O 的半径为 r，同理列方程可得 r 的值．
【解答】（1）证明：如图 1，连接 OP，
∵PA=PB，
∴ ，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，过 C 作 CG⊥BA，交 BA 的延长线于 G，
Rt△BCG 中，tan∠ABC= ，
设 CG= ，BG=2x，
∴BC= x，
∵BC=8，即 x=8，
x= ，
∴CG= x= ，BG=2x= ，
设 AC=a，则 AB=a，AG= ﹣a，
在 Rt△ACG 中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，
∴ ，
a=2 ，
∴AB=2 ，BE= ，
Rt△BEP 中，同理可得：PE= ，
设⊙O 的半径为 r，则 OB=r，OE=r﹣ ，
由勾股定理得： ，62
r= ，
答：⊙O 的半径是 ．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股
定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键．
35. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直径的⊙
O 交 AG 于点 D，过点 D 作 AH 的垂线，垂足为点 C，交 AF 于点 B．
（1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=2CD，设⊙O 的半径为 r，求 BD 的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC，证明 OD⊥CB，可得结论；
（2）在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，证明△ACD∽△ADE，表示 a= ，由平
行线分线段成比例定理得： ，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AG 是∠HAF 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，63
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即 OD⊥CB，
∵D 在⊙O 上，
∴直线 BC 是⊙O 的切线；（4 分）
（2）解：在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，
连接 DE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴ ，
即 ，
∴a= ，
由（1）知：OD∥AC，
∴ ，即 ，
∵a= ，解得 BD= r．（10 分）
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的
性质列方程解决问题是关键．
36. （2018•乌鲁木齐•10 分）如图，AG 是∠HAF 的平分线，点 E 在 AF 上，以 AE 为直径的⊙
O 交 AG 于点 D，过点 D 作 AH 的垂线，垂足为点 C，交 AF 于点 B．64
（1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线；
（2）若 AC=2CD，设⊙O 的半径为 r，求 BD 的长度．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 OD∥AC，证明 OD⊥CB，可得结论；
（2）在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，证明△ACD∽△ADE，表示 a= ，由平
行线分线段成比例定理得： ，代入可得结论．
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵AG 是∠HAF 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=∠ACD=90°，即 OD⊥CB，
∵D 在⊙O 上，
∴直线 BC 是⊙O 的切线；（4 分）
（2）解：在 Rt△ACD 中，设 CD=a，则 AC=2a，AD= a，
连接 DE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ADE=90°，
由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，
∴△ACD∽△ADE，
∴ ，
即 ，65
∴a= ，
由（1）知：OD∥AC，
∴ ，即 ，
∵a= ，解得 BD= r．（10 分）
【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的
性质列方程解决问题是关键．
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