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二次根式
一.选择题
1. （2018·湖南怀化·4 分）使 有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．
【解答】解：∵式子 有意义，
∴x﹣3≥0，
解得 x≥3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2.（2018•江苏宿迁•3 分）若实数 m、n 满足 ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的
两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】B
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：①若腰为 2，底为
4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为 4，底为 2，再由三角形周长公式计算即
可.
【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，
①若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为 4，底为 2，则周长为：4+4+2=10，
故选 B.
【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出 m、n 的
值是解题的关键.
3.（2018•江苏无锡•3 分）下列等式正确的是（ ）
A．（ ）2=3 B． =﹣3 C． =3 D．（﹣ ）2=﹣3
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【解答】解：（ ）2=3，A 正确；
=3，B 错误；
= =3 ，C 错误；
（﹣ ）2=3，D 错误；
故选：A．2
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的关键．
4.（2018•江苏苏州•3 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得 x+2≥0，
解得 x≥﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题
的关键．
5.（2018•山东聊城市•3 分）下列计算正确的是（ ）
A．3 ﹣2 = B． •（ ÷ ）=
C．（ ﹣ ）÷ =2 D． ﹣3 =
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A.3 与﹣2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B. •（ ÷ ）= • = = ，此选项正确；
C.（ ﹣ ）÷ =（5 ﹣ ）÷ =5﹣ ，此选项错误；
D. ﹣3 = ﹣2 =﹣ ，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运
算法则．
6．（2018•上海•4 分）下列计算 ﹣ 的结果是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先化简，再合并同类项即可求解．
【解答】解： ﹣
=3 ﹣
=2 ．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加3
减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
7. （2018•达州•3 分）二次根式 中的 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+4≥0，
解得 x≥﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
8. （2018•杭州•3 分）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：AB.∵ ，因此 A 符合题意；B 不符合题意；CD.∵ ，因
此 C.D 不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。
9.（2018•临安•3 分）化简 的结果是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
【分析】本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
【解答】解： = =2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
10. （2018•临安•3 分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a12÷a6=a2 B．（x+y）2=x2+y2
C． D．
【分析】此类题目难度不大，可用验算法解答．
【解答】解：A.a12÷a6 是同底数幂的除法，指数相减而不是相除，所以 a12÷a6=a6，错误；4
B.（x+y）2 为完全平方公式，应该等于 x2+y2+2xy，错误；
C. = = =﹣ ，错误；
D.正确．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
运算法则：①am÷an=am﹣n，
② ÷ = （a≥0，b＞0）．
11. （2018•贵州安顺•3 分） 的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵ =2，
而 2 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ，
故选 B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则
容易出现选 A 的错误．
12. （2018•广西桂林•3 分） 若 ，则 x，y 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于 x、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法
求出 x 的值，利用代入消元法求出 y 的值即可．
详解：∵ ，
∴
将方程组变形为 ，
①+②×2 得，5x=5，解得 x=1，
把 x=1 代入①得，3-2y=1，解得 y=1，
∴方程组的解为 ．
故选：D．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法5
是解答此题的关键．
13.（2018·黑龙江大庆·3 分）函数 y= 的自变量 x 取值范围是 x≤3 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 可知：3﹣x≥0，解得 x 的范围．
【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
14．（2018•上海•4 分）下列计算 ﹣ 的结果是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先化简，再合并同类项即可求解．
【解答】解： ﹣
=3 ﹣
=2 ．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加
减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
15. （2018•达州•3 分）二次根式 中的 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+4≥0，
解得 x≥﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）计算： +| ﹣2|﹣（ ）
﹣1= 0 ．
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：原式= +2﹣ ﹣2
=0
故答案为：0．6
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负
整数指数幂的运算法则是解题的关键．
2.（2018•山东济宁市•3 分） 分若二次根式 在实数范围内有意义则x 的取值范围是
x≥1 ．
【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0， 解得
x≥1． 故答案为：
x≥1．
3.（2018•山东烟台市•3 分） 与最简二次根式 5 是同类二次根式，则 a= 2 ．
【分析】先将 化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于
a 的方程，解出即可．
【解答】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，且 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为 2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二
次根式叫做同类二次根式．
4. （2018•达州•6 分）计算：（﹣1）2018+（﹣ ）﹣2﹣|2﹣ |+4sin60°；
【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数 5 个考
点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结
果．
【解答】解：原式=1+4﹣（2 ﹣2）+4× ，
=1+4﹣2 +2+2 ，
=7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类
题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
5. （2018•资阳•3 分）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得 x≥1．
故答案为 x≥1．7
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
6. （2018•资阳•3 分）已知 A.b 满足（a﹣1）2+ =0，则 a+b= ﹣1 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出 a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a﹣1）2+ =0，
∴a=1，b=﹣2，
∴a+b=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键．
7. （2018•湖州•4 分） 二次根式 中字母 x 的取值范围是_____．
【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解答】解：当 x﹣3≥0 时，二次根式 有意义，
则 x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是
解决问题的关键．
8. （2018•广西南宁•3 分）要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围
是 x≥5 ．
【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得 x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
9. （2018·黑龙江哈尔滨·3 分）计算 6 ﹣10 的结果是 4 ．
【分析】首先化简 ，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=6 ﹣10× =6 ﹣2 =4 ，
故答案为：4 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式
化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式
不变．
10. （2018•广西北海•3分）要使二次根式x − 5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围
是 8
【答案】 x ≥ 5
【考点】二次根式有意义的条件.
【解析】根据被开方数是非负数，则有 x − 5 ≥ 0 ，∴ x ≥ 5 .
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
10. （2018•达州•6 分）计算：（﹣1）2018+（﹣ ）﹣2﹣|2﹣ |+4sin60°；
【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数 5 个考
点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结
果．
【解答】解：原式=1+4﹣（2 ﹣2）+4× ，
=1+4﹣2 +2+2 ，
=7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类
题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
11. （2018•资阳•3 分）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 ．
【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得 x≥1．
故答案为 x≥1．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. （2018•资阳•3 分）已知 A.b 满足（a﹣1）2+ =0，则 a+b= ﹣1 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出 a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a﹣1）2+ =0，
∴a=1，b=﹣2，
∴a+b=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键．
三.解答题
1.（2018•江苏苏州•5 分）计算：|﹣ |+ ﹣（ ）2．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．9
【解答】解：原式= +3﹣ =3
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
2.（2018•上海•10 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a= ．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]÷
= •
= ，
当 a= 时，
原式= = =5﹣2 ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法
则．
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