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24．1.3 弧、弦、圆心角
1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．
2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．
重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．
难点：探索推导定理及其应用．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：自学教材 P83～84 内容，回答下列问题．
探究：
1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧
叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．
3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它
们所对应的其余各组量也相等．
4．在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，
(1)如果 AB＝CD，那么__AB︵
＝CD︵
，__∠AOB＝∠COD__；
(2)如果AB︵
＝CD︵
，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，AB︵
＝CD︵
__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟)
1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结
论．(半径相等除外)
(1)__△ACO_≌_△ABO__；
(2)__AD 垂直平分 BC__；
(3)AB︵
＝AC︵
.
2．如图，在⊙O 中，AB︵
＝AC︵
，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.2
证明：∵AB︵
＝AC︵
，∴AB＝AC.
又∵∠ACB＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
,第 2 题图) ,第 3 题图)
3．如图，(1)已知AD︵
＝BC︵
.求证：AB＝CD.
(2)如果 AD＝BC，求证：DC︵
＝AB︵
.
证明：(1)∵AD︵
＝BC︵
，
∴AD︵
＋AC︵
＝BC︵
＋AC︵
，
∴DC︵
＝AB︵
，∴AB＝CD.
(2)∵AD＝BC，
∴AD︵
＝BC︵
，
∴AD︵
＋AC︵
＝BC︵
＋AC︵
，即DC︵
＝AB︵
.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7 分
钟)
1．⊙O 中，一条弦 AB 所对的劣弧为圆周的
1
4，则弦 AB 所对的圆心角为__90°__．
点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．
2．在半径为 2 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 1，则弦 AB 所对的圆心角的度数为
__120°__．
3．如图，在⊙O 中，AB︵
＝AC︵
，∠ACB＝75°，求∠BAC 的度数．
解：30°.
,第 3 题图) ,第 4 题图)
4．如图，AB，CD 是⊙O 的弦，且 AB 与 CD 不平行，M，N 分别是 AB，CD 的中点，AB＝3
CD，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？
点拨精讲：(1)OM，ON 具备垂径定理推论的条件．
(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．
解：∠AMN＝∠CNM.
∵AB＝CD，M，N 为 AB，CD 中点，
∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，
∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM.
即∠AMN＝∠CNM.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)
1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC︵
＝CD︵
＝DE︵
，∠COD＝35°，求∠AOE 的度数．
解：75°.
,第 1 题图) ,第 2 题图)
2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在 CD 上截取 CE＝DF，连接 OE，OF，它们的延长线交⊙O
于点 A，B.
(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；
(2)求证：AC︵
＝BD︵
.
解：(1)△OEF 为等腰三角形．
理由：过点 O 作 OG⊥CD 于点 G，
则 CG＝DG.∵CE＝DF，
∴CG－CE＝DG－DF.
∴EG＝FG.∵OG⊥CD，
∴OG 为线段 EF 的垂直平分线．
∴OE＝OF，
∴△OEF 为等腰三角形．
(2)证明：连接 AC，BD.
由(1)知 OE＝OF，
又∵OA＝OB，
∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.
∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，
∴∠CEA＝∠DFB.
在△CEA 与△DFB 中，
AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，
∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴AC︵
＝BD︵
.
点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接 AC，BD，通过证弦等来证弧等．
3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M，N 是 AO，BO4
的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于 C，D 点．求证：AC︵
＝BD︵
.
证明：连接 AC，OC，OD，BD.
∵M，N 为 AO，BO 中点，
∴OM＝ON，AM＝BN.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°.
在 Rt△CMO 与 Rt△DNO 中，
OM＝ON，OC＝OD，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴CM＝DN.在 Rt△AMC 和 Rt△BND 中，
AM＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN，
∴△AMC≌△BND.
∴AC＝BD.∴AC︵
＝BD︵
.
点拨精讲：连接 AC，OC，OD，BD，构造三角形．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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