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24．4 弧长和扇形面积(2)
1. 了解圆锥母线的概念；理解圆锥侧面积计算公式；理解圆锥全面积的计算方法，并
会应用公式解决问题．
2. 探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
难点：探索两个公式的由来．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：阅读教材 P113～114.
归纳：
1．圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的，连接圆锥__顶点__和底面圆周上任
意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和__底面圆心__的线段叫做圆锥的高．
2．圆锥的侧面展开图是一个__扇形__，其半径为圆锥的__母线__，弧长是圆锥底面圆
的__周长__．
3．圆锥的母线 l，圆锥的高 h，底面圆的半径 r，存在关系式：__l2＝h2＋r2__，圆锥
的侧面积 S＝πlr；圆锥的全面积 S 全＝S 底＋S 侧＝__πlr＋πr2__．
点拨精讲：圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径
为 r，其侧面展开图扇形的半径为 R，圆心角度数为 n°，则可推得 r，R，n，360 之间存在
的关系是：r＝
nR
360.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟)
1．已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的侧面积为__12π__．
2．圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180
°__．
点拨精讲：始终牢记圆锥侧面的弧长即为底面圆的周长．
3．如果圆锥的高为 3 cm，母线长为 5 cm，则圆锥的全面积是__36π__cm2.
4．已知圆锥底面的面积为 16π cm，高为 3 cm，那么它的全面积为__36π__cm2.
点拨精讲：涉及到圆锥的高时通常利用高、半径、母线构造直角三角形．
5．已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，将△ABC 绕直角边旋转一周，求
所得圆锥的侧面积．
解：20π cm2 或 15π cm2.
点拨精讲：这里直角边分 AC，BC 两种情况．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分
钟)
1．圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是__180°
__．
2．圆锥的底面半径为 10 cm，母线长 30 cm，底面圆周上的蚂蚁绕侧面一周的最短长度
是多少？
解：如图①，不失一般性，假设蚂蚁在图中点 P 处，将圆锥侧面从母线 OA 展开，如图②2
所示扇形，则 P 点在AA′︵
的中点上．过点 P 作 PB⊥OA 于点 B，连接 OP，易知，蚂蚁绕侧面
一周的最短的长度 l 最短＝2BP.
设扇形AA′︵
的圆心角为 n°，则
π×30×10＝
nπ × 302
360 ，解得 n＝120，即∠AOA′＝120°.则∠POB＝
1
2∠AOA′＝60
°，
∵OP＝30 cm，∴BP＝15 3 cm.
∴l 最短＝2BP＝30 3 cm.
即最短长度为 30 3 cm.
点拨精讲：蚂蚁绕侧面一周的长度指蚂蚁的起点和终点间的距离．
3．一个扇形，半径为 30cm，圆心角为 120 度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆
锥的底面半径为__10_cm__．
4．一个圆锥的高为 3 3，侧面展开图是半圆，求：
①圆锥的母线与底面半径之比；②锥角的大小；③圆锥的表面积．
解：①2∶1；②60°；③18π.
点拨精讲：由侧面展开图是半圆求出圆锥的母线与底面半径之比，再利用高构造直角三
角形．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟)
1．已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S 扇＝__
4
3π__；已知扇
形面积为
3
4π，圆心角为 120°，则这个扇形的半径 R＝__
3
2__．
2．已知扇形的半径为 5 cm，面积为 20 cm2，则扇形弧长为__8__cm.
3．已知扇形的圆心角为 210°，弧长是 28π，则扇形的面积为__336π__.
4．教材第 114 页练习．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
1．圆锥的母线．
2．圆锥的侧面积和全面积公式．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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