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22．1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质(2)
能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：自学课本 P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式
的方法，完成填空．
总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，利用
待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为 y＝a(x－h)2＋
k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，
0)，可设函数的关系式为 y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7 分钟)
1．二次函数 y＝4x2－mx＋2，当 x－2 时，y 随 x
的增大而增大，则当 x＝1 时，y 的值为 22．
点拨精讲：可根据顶点公式用含 m 的代数式表示对称轴，从而求出 m 的值．
2．抛物线 y＝－x2＋6x＋2 的顶点坐标是(3，11)．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )
A．a0 C．c>0 D．ac>0
第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图
4．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线 x＝1，且经过点 P(3，0)，则 a－
b＋c 的值为( A )
A．0 B．－1 C．1 D．2
点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与 x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，将
此点代入解析式，即可求出 a－b＋c 的值．
5．如图是二次函数 y＝ax2＋3x＋a2－1 的图象，a 的值是－1．
点拨精讲：可根据图象经过原点求出 a 的值，再考虑开口方向．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13 分
钟)
探究 1 已知二次函数的图象经过点 A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系
式和对称轴．
解：设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点 A(3，0)，B(2，－3)，
C(0，－3)，则有{9a＋3b＋c＝0，
4a＋2b＋c＝－3，
c＝－3.2
解得{a＝1，
b＝－2，
c＝－3.
∴函数的解析式为 y＝x2－2x－3，其对称轴为 x＝1.
探究 2 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A(3，0)，B(－1，0)，且经过点 C(2，9)．试求
该抛物线的解析式及顶点坐标．
解：设解析式为 y＝a(x－3)(x＋1)，则有
a(2－3)(2＋1)＝9，
∴a＝－3，
∴此函数的解析式为 y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
点拨精讲：因为已知点为抛物线与 x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入
即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求
出．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5 分钟)
1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的
解析式及与 x 轴
交点的坐标．
2．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线 x＝
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2对称，那么它的图
象还必定经过原点．
3．如图，已知二次函数 y＝－
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2x2＋bx＋c 的图象经过 A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA，BC，求△ABC 的面积．
点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式 y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式 y＝a(x－
h)2＋k；3.交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已
知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10 分钟)
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