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22．2 二次函数与一元二次方程(2)
1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．
2．熟练掌握函数与方程的综合应用．
3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．
重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．
难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：自学课本 P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交
点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点坐标实质上是抛物线与直线 y＝0 组成
的方程组的解；抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y 轴的交点坐标实质上是{x＝0，
y＝ax2＋bx＋c的解；
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线的交点坐标实质上是{y＝kx＋b，
y＝ax2＋bx＋c的解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7 分钟)
1．若二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围为( D )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4 且 k≠3 D．k≤4 且 k≠3
2．已知二次函数 y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中 a，b，c 是△ABC 的边长，则此二次函数
图象与 x 轴的交点情况是( A )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．交点个数无法确定
3．若二次函数 y＝x2＋mx＋m－3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，则 A，B 两点的距离的
最小值是( C )
A．2 3 B．0
C．2 2 D．无法确定
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13 分
钟)
探究 1 将抛物线 y＝x2＋2x－4 向右平移 2 个单位，又向上平移 3 个单位，最后绕顶
点旋转 180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰
为 x 的整式方程 x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0 的两根，求 m，n 的值．
解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，
由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为 y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；
(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为 x1，x2，则有 x1＋x2＝4m＋n＝－
1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即{4m＋n＝－1，
3m2－2n＝－2，2
解得{m1＝－
2
3，
n1＝
5
3
或{m2＝－2，
n2＝7.
点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以
及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．
探究 2 如图是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的一部分，其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴一
交点为(3，0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是 x＞3 或 x＜－1．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8 分钟)
1．若二次函数 y＝ax2－x＋c 的图象在 x 轴的下方，则 a，c 满足关系为( A )
A．a＜0 且 4ac＞1 B．a＜0 且 4ac＜1
C．a＜0 且 4ac≥1 D．a＜0 且 4ac≤1
2．若二次函数 y＝－x2＋2x＋k 的部分图象如图，关于 x 的一元二次方程－x2＋2x＋k＝
0 的一个解 x1＝3，则另一个解 x2＝－1．
点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．
3．二次函数 y＝x2－8x＋15 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 在该函数的图象上运动，
若 S△ABC＝2，求点 C 的坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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