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24．3 正多边形和圆
1．了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．
2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作
出一些特殊的正多边形．
3. 会进行有关圆与正多边形的计算．
重点：正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点：理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：阅读教材 P105～107.
归纳：
1．__各边__相等，__各角__也相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是__正多边形__，它的中心角等于__
360°
边数 __．
3．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的__半径__叫
做正多边形的半径；正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角；中心到正多
边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．
4．正 n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有__n__条，并且还是中心
对称图形；当边数为奇数时，它只是__轴对称图形__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)
1．如果正多边形的一个外角等于 60°，那么它的边数为__6__．
2．若正多边形的边心距与边长的比为 1∶2，则这个正多边形的边数为__4__．
3．已知正六边形的外接圆半径为 3 cm，那么它的周长为__18_cm__．
4．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是__互补__．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(9 分
钟)
1．如图所示，⊙O 中，AB︵
＝BC︵
＝CD︵
＝DE︵
＝EF︵
＝FA︵
.
求证：六边形 ABCDEF 是正六边形．
证明：略．2
点拨精讲：由本题的结论可得：只要将圆分成 n 等分，顺次连接各等分点，就可得到这
个圆的内接正 n 边形．
2．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的内接正三角形 ACE 的面积为 48 3，试
求正六边形的周长．
解：48.
点拨精讲：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，故要求正六边形的边长，需先求圆
的半径．
3．利用你手中的工具画一个边长为 3 cm 的正五边形．
点拨精讲：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为
3 cm 的正五边形的半径．
4．你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？
点拨精讲：只要作出已知⊙O 的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的
垂线与⊙O 相交，或作各中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆内接正八边形，照此方法依
次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
5．你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
点拨精讲：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，顺次连接各等分点，则作出正六边
形．先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟)
1．正 n 边形的一个内角与一个外角之比是 5∶1，那么 n 等于__12__．
2．若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为__2∶1__．
3．正八边形有__8__条对称轴，它不仅是__轴__对称图形，还是__中心__对称图形．
点拨精讲：正 n 边形的中心对称性和轴对称性．
4．有两个正多边形边数比为 2∶1，内角度数比为 4∶3，求它们的边数．
解：10，5.
点拨精讲：本题应用方程的方法来解决．
5．教材 P106 练习．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，
正多边形的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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