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21．2.2 公式法
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式的推导．
(2 分钟)
用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0.
解：(1)x1＝－2，x2＝－1； (2)无解．
一、自学指导．(8 分钟)
问题：如果这个一元二次方程是一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法
的步骤求出它们的两根？
问题：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根 x 1＝
－b＋ b2－4ac
2a ，x2＝
－b－ b2－4ac
2a .
分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把 a，b，c 也当成一个具体数字，根据
上面的解题步骤就可以一直推下去．
探究：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0，当 b2－4ac≥0 时，
将 a，b，c 代入式子 x＝
－b ± b2－4ac
2a 就得到方程的根，当 b2－4ac＜0 时，方程没有实
数根．
(2)x＝
－b ± b2－4ac
2a 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2 个实数根，也可能有__1__个实根或者__
没有__实根．
(5)一般地，式子 b2－4ac 叫做方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字
母 Δ 表示，即 Δ＝b2－4ac.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)
用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
(1)2x2－3x＝0； (2)3x2－2 3x＋1＝0；
(3)4x2＋x＋1＝0.
解：(1)x1＝0，x2＝
3
2；有两个不相等的实数根；
(2)x1＝x2＝
3
3 ；有两个相等的实数根；
(3)无实数根．2
点拨精讲：Δ＞0 时，有两个不相等的实数根；Δ＝0 时，有两个相等的实数根；Δ＜0
时，没有实数根．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分
钟)
1．方程 x2－4x＋4＝0 的根的情况是( B )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
2．当 m 为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1
4； (2)m＝
1
4； (3)m ＞
1
4.
3. 已知 x2＋2x＝m－1 没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0 没有实数根，
∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.
对于方程 x2＋mx＝1－2m，即 x2＋mx＋2m－1＝0，
Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，
∴x2＋mx＝1－2m 必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x2－3x－
3
2＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；
(3)x2－4 2x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x.
解：(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实数根；
(4)有两个不相等的实数根．
2．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－ 2x－
1
4＝0；
(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2 5x＋10＝0.
解：(1)x1＝3，x2＝－4；
(2)x1＝
2＋ 3
2 ，x2＝
2－ 3
2 ；
(3)x1＝1，x2＝－3；
(4)x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6；
(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．
点拨精讲：(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数 a，b，
c 确定的；3
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 b2－4ac≥0 的前提下，
把 a，b，c 的值代入 x＝
－b ± b2－4ac
2a (b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；
(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
1.求根公式的推导过程．
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定 a，b，c 的值，再算出 b2－4ac 的值、
最后代入求根公式求解．
3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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