1
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－
b
a，x1x2＝
c
a.
2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．
重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．
难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．
一、自学指导．(10 分钟)
自学 1：完成下表：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．
②x2＋px＋q＝0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律.
答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
自学 2：完成下表：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
2x2－3x－2＝0 2 －
1
2
3
2 －1
3x2－4x＋1＝0 1
3 1 4
3
1
3
问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律；
答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系
数之比．
②ax2＋bx＋c＝0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律．
答：x1＋x2＝－
b
a，x1x2＝
c
a.
自学 3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)
ax2＋bx＋c＝0 的两根 x1＝__
－b＋ b2－4ac
2a __，x2＝__
－b－ b2－4ac
2a __．
x1＋x2＝－
b
a，x1x2＝
c
a.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－3x－1＝0 ； (2)2x2＋3x－5＝0；
(3)
1
3x2－2x＝0.2
解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1；
(2)x1＋x2＝－
3
2，x1x2＝－
5
2；
(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10 分
钟)
1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；
(2)x1＋x2＝－
7
3，x1x2＝－3；
(3)x1＋x2＝
5
4，x1x2＝
1
4.
点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对 a，b，c.
2．已知方程 2x2＋kx－9＝0 的一个根是－3，求另一根及 k 的值．
解：另一根为
3
2，k＝3.
点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x＝－3 代入方程先求 k，再求
另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．
3．已知 α，β是方程 x2－3x－5＝0 的两根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)
1
α＋
1
β； (2)α2＋β2； (3)α－β.
解：(1)－
3
5；(2)19；(3) 29或－ 29.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8 分钟)
1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；
(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.
解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；
(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；
(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；
(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.
2．两根均为负数的一元二次方程是( C )
A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0
点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之
积为正数．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；
求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．
1．先化成一般形式，再确定 a，b，c.3
2．当且仅当 b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系．
3．要注意比的符号：x1＋x2＝－
b
a(比前面有负号)，x1x2＝
c
a(比前面没有负号)．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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