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24．1.2 垂直于弦的直径
1．圆的对称性．
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．
3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．
重点：垂径定理及其推论．
难点：探索并证明垂径定理．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：研读课本 P81～83 内容，并完成下列问题．
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，
对称中心为圆心．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经
过圆心 O 且与圆交于 A，B 两点；②AB⊥CD 交 CD 于 E，那么可以推出：③CE＝DE；④CB︵
＝
DB︵
；⑤CA︵
＝DA︵
.
3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．
(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所
对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟)
1．在⊙O 中，直径为 10 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为 __8_cm__．
2．在⊙O 中，直径为 10 cm，弦 AB 的长为 8 cm，则圆心 O 到 AB 的距离为__3_cm__．
点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．
3．⊙O 的半径 OA＝5 cm，弦 AB＝8 cm，点 C 是 AB 的中点，则 OC 的长为__3_cm__．
点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．
4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为
多少米？
(8 米)
点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一
个．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6 分
钟)
1．AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为垂足，若 AE＝9，BE＝1，求 CD 的长．
解：6.
点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2
2．⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小值为__3__，
最大值为__5__．
点拨精讲：当 OM 与 AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在 A(或 B)处时 OM 最大．
3．如图，线段 AB 与⊙O 交于 C，D 两点，且 OA＝OB.求证：AC＝BD.
证明：作 OE⊥AB 于 E.则 CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE.
即 AC＝BD.
点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)
1．在直径是 20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是 60°，那么弦 AB 的弦心距是__5 3
__cm.
点拨精讲：这里利用 60°角构造等边三角形，从而得出弦长．
2．弓形的弦长为 6 cm，弓形的高为 2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__
13
4 __cm.
3．如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点．求证：AC＝
BD.
证明：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E.则 AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE.
即 AC＝BD.
点拨精讲：过圆心作垂径．
4．已知⊙O 的直径是 50 cm，⊙O 的两条平行弦 AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦 AB 与 CD
之间的距离．
解：过点 O 作直线 OE⊥AB 于点 E，直线 OE 与 CD 交于点 F.由 AB∥CD，则 OF⊥CD.
(1)当 AB，CD 在点 O 两侧时，如图①.连接 AO，CO，则 AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF
＝24 cm.
由勾股定理知 OE＝15 cm，OF＝7 cm.
∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．
即 AB 与 CD 之间距离为 22 cm.3
(2)当 AB，CD 在点 O 同侧时，如图②，连接 AO，CO.则 AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF
＝24 cm.
由勾股定理知 OE＝15 cm，OF＝7 cm.
∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．
即 AB 与 CD 之间距离为 8 cm.
由(1)(2)知 AB 与 CD 之间的距离为 22 cm 或 8 cm.
点拨精讲：分类讨论，①AB，CD 在点 O 两侧，②AB，CD 在点 O 同侧．
学生总结本堂课的收获与困惑．(3 分钟)
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理及其推论以及它们的应用．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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