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21．3 实际问题与一元二次方程(2)
1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程
并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点：如何解决增长率与降低率问题．
难点：理解增长率与降低率问题的公式 a(1±x)n＝b，其中 a 是原有量，x 为增长(或降
低)率，n 为增长(或降低)的次数，b 为增长(或降低)后的量．
一、自学指导．(10 分钟)
自学：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，
随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本
是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到 0.01)
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本
的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较
大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成
本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：
①设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，
两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．
依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．
解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．
②设乙种药品成本的年平均下降率为 y.则，
列方程：__6000(1－y)2＝3600__．
解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．
答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．
点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降
前及降后的价格．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8 分钟)
某商店 10 月份的营业额为 5000 元，12 月份上升到 7200 元，平均每月增长百分率是多
少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为 x，则
11 月份的营业额为__5000(1＋x)__元，
12 月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．
由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．
点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增
长数与基准数的比．
增长率＝增长数∶基准数
设基准数为 a，增长率为 x，2
则一月(或一年)后产量为 a(1＋x)；
二月(或二年)后产量为 a(1＋x)2；
n 月(或 n 年)后产量为 a(1＋x)n；
如果已知 n 月(n 年)后产量为 M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分
钟)
某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000
元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320
元，求这种存款方式的年利率．(利息税 20%)
分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息
是 1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000＋2000x·80%，其他依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为 x，
则 1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，
整理，得 1280x2＋800x＋1600x＝320，即 8x2＋15x－2＝0，
解得 x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.
答：所求的年利率是 12.5%.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6 分钟)
青山村种的水稻 2011 年平均每公顷产 7200 kg，2013 年平均每公顷产 8460 kg，求水稻
每公顷产量的年平均增长率．
解：设年平均增长率为 x，
则有 7200(1＋x)2＝8460，
解得 x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．
即年平均增长率为 8%.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 8%.
点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．
学生总结本堂课的收获与困惑．(3 分钟)
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符
合实际意义．
2. 若平均增长(降低)率为 x，增长(或降低)前的基数是 a，增长(或降低)n 次后的量是
b，则有：a(1±x)n＝b(常见 n＝2)．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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