1
21．2.1 配方法(2)
1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．
重点：掌握配方法解一元二次方程．
难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b 的过程．
(2 分钟)
1．填空：
(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；
(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；
(3)x2＋px＋__(
p
2)2__＝(x＋__
p
2__)2.
2．若 4x2－mx＋9 是一个完全平方式，那么 m 的值是__±12__．
一、自学指导．(10 分钟)
问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是多
少米？
设场地的宽为 x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为 16 m2，得到方程__x(x＋6)＝
16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．
探究：怎样解方程 x2＋6x－16＝0?
对比这个方程与前面讨论过的方程 x2＋6x＋9＝4，可以发现方程 x2＋6x＋9＝4 的左边
是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x2＋6x－16＝0 不
具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项，得 x2＋6x＝16，
两边都加上__9__即__(
6
2)2__，使左边配成 x2＋bx＋(
b
2)2 的形式，得
__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成平方形式，得
__(x＋3)2＝25__，
开平方，得
__x＋3＝±5__， (降次)
即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，
解一次方程，得 x1＝__2__，x2＝__－8__．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是
为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题 2：解下列方程：
(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0；
(3)4x2＋16x＋16＝9.
解：(1)x＝± 2；(2)x1＝－
1
2，x2＝
5
2；2
(3)x1＝－
7
2，x2＝－
1
2.
归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数 a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两
个一元一次方程来解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8 分钟)
1．填空：
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
(2)x2－x＋__
1
4__＝(x－__
1
2__)2；
(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.
2．解下列方程：
(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.
解：(1)移项，得 x2＋6x＝－5，
配方得 x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，
由此可得 x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5.
(2)移项，得 2x2＋6x＝－2，
二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝－1，
配方得 x2＋3x＋(
3
2)2＝(x＋
3
2)2＝
5
4，
由此可得 x＋
3
2＝±
5
2 ，即 x1＝
5
2 －
3
2，
x2＝－
5
2 －
3
2.
(3)去括号，整理得 x2＋4x－1＝0，
移项得 x2＋4x＝1，
配方得(x＋2)2＝5，
x＋2＝± 5，即 x1＝ 5－2，x2＝－ 5－2.
点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方式．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5 分
钟)
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点 P，Q 同时由 A，B 两点出发分
别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC
面积的一半？3
解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半．根据题意可列方程：
1
2(8－x)(6－x)＝
1
2×
1
2×8×6，
即 x2－14x＋24＝0，
(x－7)2＝25，
x－7＝±5，
∴x1＝12，x2＝2，
x1＝12，x2＝2 都是原方程的根，但 x1＝12 不合题意，舍去．
答：2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半．
点拨精讲：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根
据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8 分钟)
1．用配方法解下列关于 x 的方程：
(1)2x2－4x－8＝0； (2)x2－4x＋2＝0；
(3)x2－
1
2x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.
解：(1)x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5；
(2)x1＝2＋ 2，x2＝2－ 2；
(3)x1＝
1
4＋
17
4 ，x2＝
1
4－
17
4 ；
(4)x1＝
6
2 ，x2＝－
6
2 .
2．如果 x2－4x＋y2＋6y＋ z＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．
解：由已知方程得 x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋ z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋ z＋2＝
0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.
∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝
1
36.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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