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21．3 实际问题与一元二次方程(3)
1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一
个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．
重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际
问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
一、自学指导．(10 分钟)
问题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面
长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积
是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽
度？(精确到 0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是 27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，
若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的宽
度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．
探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)
在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成
一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米，求金色纸边的宽．
解：设金色纸边的宽为 x 分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80.
解得 x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)．
答：金色纸边的宽为 1 分米．
点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分
钟)2
如图，某小区规划在一个长为 40 m、宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽度的
马路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都
是 144 m2，求马路的宽．
解：假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为 x，则有
(40－2x)(26－x)＝144×6，
化简，得 x2－46x＋88＝0，
解得 x1＝2，x2＝44，
由题意：40－2x＞0，26－x＞0, 则 x＜20.
故 x2＝44 不合题意，应舍去，∴x＝2.
答：马路的宽为 2 m.
点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)
1．如图，要设计一幅宽 20 cm、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部
分)，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何
设计彩条的宽度．(精确到 0.1 cm)
解：设横彩条的宽度为 3x cm，则竖彩条的宽度为 2x cm.
根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－
1
4)×20×30.
解得 x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去)．
故 3x＝1.8，2x＝1.2.
答：横彩条宽为 1.8 cm，竖彩条宽为 1.2 cm.
2．用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为 101 cm2 的长方形吗？若能，说明围法．
(3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm2)，长方形的宽为 x(cm)，求 S 与 x 的函数关系
式，并求出当 x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？
解：(1)设此长方形的宽为 x cm，则长为(20－x) cm.
根据题意，得 x(20－x)＝75，
解得 x1＝5，x2＝15(舍去)．3
答：此长方形的宽是 5 cm.
(2)不能．由 x(20－x)＝101，即 x2－20x＋101＝0，知 Δ＝202－4×101＝－4＜0，方
程无解，故不能围成一个面积为 101 cm2 的长方形．
(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.
由 S＝－x2＋20x＝－(x－10) 2＋100 知，当 x＝10 时，S 的值最大，最大面积为 100
cm2.
点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系
列方程．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
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