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类型3 综合全等和相似三角形的几何探究题
9．(2016·赤峰)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/s，Q点的运动速度是2 cm/s，连接AP并过点Q作QE⊥AP，垂足为E.
(1)求证：△ABP∽△QEA；
(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围)．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°.
∴∠BAP＋∠EAQ＝90°.
∵QE⊥AP，∴∠AEQ＝90°.
∴∠EAQ＋∠AQE＝90°.
∴∠ABP＝∠AEQ＝90°，∠BAP＝∠AQE.
∴△ABP∽△QEA.
(2)当△ABP≌△QEA时，AP＝AQ.
由题意，得BP＝t，AQ＝2t，AB＝3，
∴在Rt△ABP中，AP2＝AB2＋BP2＝9＋t2.
∴9＋t2＝(2t)2，解得t1 ＝，t2 ＝－(舍去)．
故当t＝时，△ABP≌△QEA.
(3)由(1)得，△ABP∽△QEA，∴＝，即＝.
又∵S△ABP＝BP·AB＝t，AQ＝2t，AP2＝9＋t2，
∴＝，解得y＝.
10．(2015·安徽)如图1，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG，BG，CG，DG，且∠AGD＝∠BGC.
(1)求证：AD＝BC；
(2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD，BC所在直线互相垂直，求的值．
解：(1)证明：∵E为AB中点，GE⊥AB，
∴GE是线段AB的垂直平分线．∴AG＝GB.
同理可证GD＝GC.
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在△AGD和△BGC中，
∴△AGD≌△BGC(SAS)．
∴AD＝BC.
(2)∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠AGB＝∠DGC.
∵AG＝BG，DG＝CG，且E，F分别为AB，CD中点，
∴∠AGE＝∠AGB，∠DGF＝∠CGD.
∴∠AGE＝∠DGF，易证Rt△AGE∽Rt△DGF.
∴∠AGD＝∠EGF，＝.
∴△AGD∽△EGF.
(3)延长AD交BC延长线于点M.
∵AD，BC所在的直线互相垂直，
∴∠DAB＋∠ABC＝90°，即∠DAB＋∠ABG＋∠GBC＝90°.
∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC.
∴∠DAB＋∠ABG＋∠GAD＝90°，即∠GAB＋∠GBA＝90°.
又∵∠GAB＝∠GBA，∴∠GAB＝45°.
由(2)得△AGD∽△EGF，∴＝＝.
11．(2013·安徽)我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”，如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.
(1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；
(2)如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：＝；
(3)在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E, 若EB＝EC，请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形)，四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)
解：(1)如图所示．
(2)证明：∵AE∥CD，AB∥ED，
∴∠AEB＝∠C，∠B＝∠DEC.
∴△ABE∽△DEC.
∴＝.∵∠B＝∠C，∴∠AEB＝∠B.
∴AB＝AE.∴＝.
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(3)当点E在四边形ABCD内部时，四边形ABCD是“准等腰梯形”．
理由：过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，EH⊥CD于点H.
∵AE平分∠BAD，∴EF＝EG.
∵ED平分∠ADC，
∴EG＝EH.∴EF＝EH.
∵EB＝EC，
∴Rt△BFE≌Rt△CHE(HL)．
∴∠FBE＝∠HCE.
∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB.
∴∠FBE＋∠EBC＝∠HCE＋∠ECB，
即∠ABC＝∠DCB.
∵AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
①当点E在边BC上时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；
②当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD为“准等腰梯形”．
12．(2016·合肥瑶海区模拟)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝60°，AB＋DC＝BC.
(1)如图1，连接AC，BD，求证：AC＝BD；
(2)如图2，∠BAD与∠ADC的平分线相交于点E，求∠E的度数；
(3)如图3，若AB＝6，CD＝3，点P为BC上一点，且∠APD＝60°，试判断△APD的形状，并说明理由．
解：(1)证明：在CB上取CE＝CD，连接DE，AE.
∵AB＋DC＝BC，∴AB＝BE.
又∵∠ABC＝∠BCD＝60°，
∴△ABE与△CDE均为等边三角形．
∴AE＝BE，DE＝CE.∴∠AEB＝∠CED＝60°.
∴∠BED＝∠AEC＝120°.
∴△BED≌△AEC(SAS)．
∴AC＝BD.
(2)在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD＋∠ADC＝240°.
∵AE，DE分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠EAD＋∠EDA＝(∠BAD＋∠ADC)＝120°，故∠E＝60°.
(3)∵∠APD＝60°，∴∠APB＋∠CPD＝120°.∵∠BAP＋∠APB＝120°，∴∠BAP＝∠CPD.
又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCD.
∴＝＝.
又∵AB＝6，CD＝3，BC＝9，∴＝.
∴BP(9－BP)＝18.
解得(BP)1＝3，(BP)2＝6.
当(BP)1＝3时，＝1，即AP＝PD，
∵∠APD＝60°，故△APD是等边三角形．
当(BP)2＝6时，PC＝3，易得△ABP，△CDP均为等边三角形．
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∴AP＝6，DP＝3，即AP＝2DP，取AP的中点E，连接DE，得PE＝PD.
∵∠APD＝60°，∴△EPD是等边三角形．
∴ED＝EP＝EA.
∴D点在以AP为直径的圆上，故△APD是直角三角形．
13．(2016·马鞍山一模)如图1，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于点O，连接DO并延长交BC于点F.
(1)求证：△FOC≌△EOC；
(2)将此图中的AD，BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于点M，再连接FM即得到图2.求证：①＝；②FD＝FM.
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，BC∥AD.
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO(SAS)．
∴∠CBO＝∠CDO.
在△BEC和△DFC中，
∴△BEC≌△DFC(ASA)．
∴EC＝FC.
在△FOC和△EOC中，
∴△FOC≌△EOC(SAS)．
(2)①∵EM∥BC，BC∥AD，∴EM∥BC∥AD.
∴＝，＝，即＝.
∵CE＝CF，CD＝CB，∴＝.∴＝.
②∵＝，∴FM∥BN.
∵EM∥BC，∴四边形FMEB为平行四边形．
∴FM＝BE.
∵BE＝DF，∴FD＝FM.
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