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第17讲 相似三角形
1．(2016·兰州)如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝( C )
A. B. C. D.
2．(2016·重庆A卷)若△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( C )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
3．(2015·东营)若＝，则的值为( D )
A．1 B. C. D.
4．(2016·新疆建设兵团)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D )
A．DE＝BC B. ＝
C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2
5．(2016·湘西)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为( D )
A．3 B．5 C．6 D．8
6．(2016·娄底)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如：AB∥DE．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
7．(2016·毕节)在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝．
8．(2016·滨州)如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝．
提示：BD＝＝3，DE＝1.2，＝＝，∴＝.
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9．(2016·泉州)如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，若CE∶BE＝2∶3，则AE∶DE＝2∶3．
10．(2016·合肥十校联考模拟)如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，连接AE，BE，CF，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.
(1)求证：△CAE∽△CBF；
(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
解：(1)证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，
∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°.
∴∠ACB－∠BCE＝∠ECF－∠BCE，
即∠ACE＝∠BCF.
∴△CAE∽△CBF.
(2)∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，＝＝.
又∵AE＝2，
∴＝.∴BF＝.
又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.
∴EF＝＝＝.
∴CE＝EF＝.
11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AB与CE交于点F.
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．
解：(1)证明：∵AD⊥CE，
∴∠DCA＋∠DAC＝90°.
又∵∠BCE＋∠DCA＝90°，∴∠BCE＝∠DAC.
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.
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在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE.
(2)∵△ACD≌△CBE，∴CE＝AD＝4，CD＝BE.
∴CD＝CE－DE＝4－1＝3.
∵∠E＝∠ADF，∠BFE＝∠AFD，
∴△BEF∽△ADF. ∴＝.
设EF＝x，则DF＝1－x.
∴＝，解得x＝. ∴EF＝.
12．(2016·永州)圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是( D )
A．0.324π m2 B．0.288π m2
C．1.08π m2 D．0.72π m2
13．(2016·阜阳二模)如图，△ABC中，AB＝AC＝12，D是AB上的一点，且AD＝AB，DF∥BC，E为BD的中点，且EF⊥AC，则EF的长为( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
14．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是(0，)，(2，0)(，0)．
15．(2016·安徽模拟)如图1，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，DE∥AB，交AC于点D，交BC于点E，点F为AB的中点，DE与CF交于点G.
(1)求证：CD·CF＝CG·CA；
(2)求证：DG＝EG；
(3)如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转得△CD1E1，CG旋转到CG1，连接AD1、G1F、E1B.求的值．
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图1 图2
解：(1)证明：∵DE∥AB，∴△AFC∽△DGC.
∴＝.∴CD·CF＝CG·CA.
(2)证明：∵DE∥AB，
∴△AFC∽△DGC，△CGE∽△CFB.
∴＝，＝.∴＝.
∵F为AB的中点，∴AF＝BF.∴DG＝EG.
(3)∵DE∥AB，∴△CGE∽△CFB.
∴＝.
∵△CD1E1是△CDE绕点C逆时针旋转而来，△CD1E1≌△CDE，
∴CG＝CG1，CE＝CE1.
∴＝.
又∵∠FCG1＝∠BCE1，
∴△BCE1∽△FCG1.∴＝.
∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，点F为AB的中点，
∴CF＝AB，＝.
∴＝＝.
∴＝＝.
16．(沪科版九上教材P72T4变式)(2016·临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为．
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