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第2课时 能力提升
1．(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( D )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
2．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6, 若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为( B )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．(2016·马鞍山和县一模)如图，等边三角形ABC边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是( D )
A．PD＝DQ B．DE＝AC C．AE＝CQ D．PQ⊥AB
提示：过点P作PF∥BC，则△APF为等边三角形，△PDF≌△QDC.
4．(2016·连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( C )
A．86 B．64 C．54 D．48
提示：S3＝S2－S1，S4＝S5＋S6，∴S3＋S4＝S2－S1＋S5＋S6＝54.
5．(2016·雅安)如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为( A )
A．2＋2 B．2＋ C．4 D．3
6．(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 017的值为( C )
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A．()2 014 B．()2 015 C．()2 014 D．()2 015
提示：Sn＝()n－3.
8．(2016·广东)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝．
提示：设BE＝x，则CE＝2x，根据折叠的性质得B′E＝x，∠AB′E＝90°，则∠ACB＝30°.∴AB＝AC＝.
9．如图，在等边△ABC中，AD是高，点G是AD的中点，过点G作EF∥AC，交AB于点F，交BC于点E，下列说法正确的有①③④．(将你认为正确的序号填在横线上)
①∠AGF＝30°；②AD＝EF；③EG＝2FG；④S△GDE＝2S△AFG.
提示：先根据等边三角形的性质得出∠DAC＝30°，再由平行线的性质可得出∠AGF的度数；设AC＝a，由直角三角形的性质求出AD的长，再由EF∥AC，G是AD的中点可求出EF的长，故可得出②错误；根据三角形中位线定理求出EG的长，进而可得出FG的长，得出③正确；过F作FH∥BC交AD于点H，根据相似三角形的性质可得出FH＝DE，由三角形的面积公式可知④正确．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，其三边的长之比为3∶4∶5，按图中的方法将它对折，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，若不重叠的部分△ADE的面积是6 cm2，则△ABC的面积是24或54 cm2.
提示：设△ABC的三边分别是3x，4x，5x，然后分BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x和BC＝4x，AC＝3x，AB＝5x两种情况进行讨论．
11．(2016·益阳)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于点D，设BD ＝ x，用含x的代数式表示CD→→
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.
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由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
12．(2016·安徽考试纲要)如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)求AE和BD的长；
(2)若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S.求证：S＝AE·BD.
解：(1)∵△ABD和△ACD的周长相等，
∴AB＋BD＝AC＋CD，即c＋BD＝b＋a－BD.
∴BD＝.
∵△CAE和△CBE的周长相等，
∴AE＋AC＝BE＋BC，即AE＋b＝c－AE＋a.
∴AE＝.
(2)证明：∵∠BAC＝90°，∴b2＋c2＝a2，S＝bc.
由(1)得，AE·BD＝·＝
＝bc.
∴S＝AE·BD.
13．(2016·阜阳二模)如图1，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE中，∠ACB＝90°，∠DEA＝90°，BD的中点是点M，CE的中点是点N，连接MN，ME，MC.
(1)当点E在AB边上．
①若点E为AB的中点，请在画图区(图2)画出满足题意的示意图，则图中等腰直角三角形共7个；
②若点E不是AB的中点(AE＜BE)，求证：△EMC是等腰直角三角形；
(2)当点D在AB边上(图3)，且AC＝12，AE＝5，求MN的长．
解：(1)②证明：∵在Rt△BCD和Rt△BED中，点M是斜边BD的中点，
∴EM＝CM.∵EM＝BD＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，同理∠MCB＝∠MBC.
∴∠EMD＝∠MBE＋∠MEB＝2∠MBE，
∠CMD＝∠MBC＋∠MCB＝2∠MBC.
∵∠MBE＋∠MBC＝45°.
∴∠CME＝∠EMD＋∠CMD＝2(∠MBE＋∠MBC)＝90°.
∴△EMC是等腰直角三角形．
(2)∵∠EAC＝90°，AE＝5，AC＝12，
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∴EC＝13.
延长ED交BC于点F，连接FM，则∠EFB＝90°，EF＝AC＝BC.
∵点M是BD的中点，且∠B＝45°，∴FM⊥AB.
∴MF＝MB，∠EFM＝∠B.∴△CMB≌△EMF.
∴ME＝MC，∠FME＝∠BMC.
∴∠FME－∠CMF＝∠BMC－∠FMC，即∠CME＝∠BMF＝90°.
∴MN＝CE＝6.5.
14．(2016·鄂州)如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝3或3或3．
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