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第25讲 图形的平移、对称、旋转与位似
1．(2016·西宁)在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是 ( D )
2．(2016·宿州灵璧县模拟)下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( A )
3．(2015·扬州)如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( A )
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
4．(2016·宿迁)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( B )
A．2 B. C. D．1
5．(2016·阜阳陈梦中学模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心．相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( D )
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
6．(2016·株洲)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是( B )
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．(2016·芜湖繁昌县模拟)如图，直角三角形纸片的两直角边长分别是6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE等于( A )
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A．14∶25 B．2∶5 C．16∶25 D．4∶21
提示：设CE＝x，则AE＝8－x.由折叠的性质得，BE＝8－x.在Rt△CBE中，根据勾股定理，求出x的值，进而求出S△BCE，S△BDE，即可得出答案．
8．(2016·台州)如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．
9．(2016·大连)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝．
10．(2016·安徽十校联考模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
(1)把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1；
(2)以图中的O为位似中心，在△A1B1C1的同侧将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所作．
(2)如图，△A2B2C2即为所作．
11．(2016·安徽合肥名校模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和格点O.
(1)把四边形ABCD平移，使得顶点C与O重合，画出平移后得到的四边形A1B1C1D1；
(2)把四边形ABCD绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的四边形A2B2C2D2.
解：(1)如图所示． (2)如图所示．
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12．(2016·济宁)如图，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是( C )
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm
13．(2016·宁国模拟)在矩形纸片ABCD中，AB＝16，AD＝12，点P在边AB上，若将△DAP沿DP折叠，使点A恰好落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长可能为②④．(把所有正确结论的序号都选上)
①5；②6；③8；④9
提示：按如图所示的两种情况进行分类讨论．
14．(2016·安徽合肥十校联考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则下列判断：
①当AP＝BP时，AB′∥CP；
②当AP＝BP时，∠B′PC＝2∠B′AC；
③当CP⊥AB时，AP＝；
④B′A长度的最小值是1.
其中正确的判断是①②④ (填入正确结论的序号)．
15．(2016·马鞍山模拟)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)
解：(1)如图，△A1B1C为所作．
(2)如图，△A2B2C2为所作．
(3)如图所示，作出A1关于x轴的对称点A′1，连接A′1C2，交x轴于点P，
可得P点坐标为(，0)．
16．(2016·安庆中考模拟)如图是一个由8×8个小正方形组成的方格纸，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC就是一个格点三角形，点M是AC的中点．
(1)请在图中作出一个格点△AMN，使△AMN与△ABC相似，并将△AMN绕点A顺时针旋转90°，得到△AEF，
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使点E与点M对应，请在图中作出△AEF；
(2)请以AF为边作出格点△AFD，使△AFD与△ACB全等．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示.
17．(2016·阜阳陈梦中学模拟)如图所示，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于点F，若AB＝3 cm.
(1)试说明BD′平分∠ABC；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)直接写出点D′到BC的距离．
解：(1)连接CD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，D′H⊥AB于点H，∵∠DAC＝90°，点E为CD边上的中点，∴AE＝CE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝60°，∠ECA＝∠EAC＝30°，∵将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E, D′E交AC于点F，∴∠DAE＝∠EAD′＝60°， AD＝AD′，∠FAD′＝30°，∴AC垂直平分ED′，
∴CE＝CD′＝AD′，∴∠ACD′＝30°，∴∠D′AH＝∠D′CG，在△AHD′和△CGD′中，
∴△AHD′≌△CGD′.∴D′H＝D′G.
∴BD′平分∠ABC.
(2)∵AC所在的直线垂直平分线段ED′，
∴点E，D′关于直线AC对称，
连接DD′交AC于点P，
∴此时DP ＋EP值为最小，且DP＋EP＝DD′.
∵AB＝3，∴AC＝6.
∴AD＝2.∴DD′＝2·AD＝6.
即DP＋EP最小值为6 cm.
(3)∵∠D′HB＝∠HBG＝∠BGD′＝90°，
D′H＝D′G，∴四边形D′HBG是正方形．
∴D′G＝GB.
设D′G长为x cm，则CG长为(3－x) cm，
在Rt△GD′C中，x2＋(3－x)2＝(2)2，
解得x1＝(舍去)，x2＝.
∴D′到BC边的距离为 cm.
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18．(2016·金华)如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是__2或5__．
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