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单元测试(七)图形变换
(时间：100分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
B
C
B
A
C
C
B
A
C
1．(2016·阜阳模拟)下列选项中的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的主视图是( B )
3．(2016·宁国模拟)下列图形中对称轴的条数为4的图形的个数有( B )
4．下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是( A )
5．下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是( C )
6．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是( A )
7．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是( C )
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
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8．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为(1，2)，将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝(x＞0)上，则k的值为( B )
A．2 B．3 C．4 D．6
9．(2015·常州)将一张宽为4 cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( B )
A. cm2 B．8 cm2 C. cm2 D．16 cm2
10．已知∠BOP与OP上点C，点A(在点C的右边)，李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，AE，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是( D )
A．CD∥ME B．OB∥AE
C．∠ODC＝∠AEM D．∠ACD＝∠EAP
提示：△OCD≌△AME(SSS)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝3．
12．如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是24cm3.
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为5．
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14．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是(4n＋1，)．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．画出下面几何体的三视图．
解：
16.如图是一个立体图形的三视图，求：
(1)请写出这个立体图形的名称；
(2)计算这个立体图形的侧面积和底面积．(结果保留π)
解：(1)该立体图形为圆柱．
(2)∵圆柱的底面半径r＝5，高d＝10，
∴S侧＝2πrd＝2π×5×10＝100π.
S底＝πr2＝25π.
答：所以立体图形的侧面积为100π，底面积为25π.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．(2015·庆阳)如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)求证：BD平分∠CBA.
解：(1)如图所示．
(2)连接BD.
∵∠C＝60°，∠A＝40°，∴∠CBA＝80°.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠A＝∠DBA＝40°.
∴∠DBA＝∠CBA.∴BD平分∠CBA.
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18．将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE，DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．
证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠ADF.∵AD是△AED和△AFD的公共边，
∴△AED≌△AFD(ASA)．∴AE＝AF，DE＝DF.
又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF，
∴AE＝ED＝DF＝AF.∴四边形AEDF是菱形．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
解：猜想：BM＝FN.
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心，
∴BO＝DO，∠BDA＝∠DBA＝45°.∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，
∴FO＝DO，∠F＝∠BDA.∴OB＝OF，∠OBM＝∠OFN.
在△OMB和△ONF中，
∴△OMB≌△ONF(ASA)．∴BM＝FN.
20．如图，△ABC和△DBC都是等边三角形，点B1在BC上，沿BC方向将△DBC平移到△D1B1C1的位置．此时，四边形ABD1C1是平行四边形吗？证明你的结论．
解：四边形ABD1C1是平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DBC都是等边三角形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝60°.
∵沿BC方向将△DBC平移得到△D1B1C1，
∴CD＝C1D1，∠DCB＝∠D1C1B1＝60°.
∴AB＝C1D1，∠ABC＝∠D1C1B1.∴AB∥C1D1.
∴四边形ABD1C1是平行四边形．
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六、(本题满分12分)
21．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.
解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求．
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求．
七、(本题满分12分)
22．每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形O1A1B1C1，请画出菱形O1A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到B2的路径长．
解：(1)根据平移的性质可知B1的坐标(8，6)．
(2)点B旋转到B2的路径就是一段弧长．根据勾股定理得OB＝4.
根据弧长公式得点B旋转到B2的路径长为＝2π.
八、(本题满分14分)
23．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；
(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．
解：(1)理由：∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.
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在△ADG和△ABE中，
∴△ADG≌△ABE(SAS)．∴∠AGD＝∠AEB.延长EB交DG于点H.
在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，∴∠AEB＋∠ADG＝90°.
在△EDH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°，∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE.
(2)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE.∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG＝∠BAE.
在△ADG和△ABE中，
∴△ADG≌△ABE(SAS)．∴DG＝BE.过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD＝∠AMG＝90°.
∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝45°.
在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，∴cos45°＝.∵AD＝2，∴DM＝AM＝.
在Rt△AMG中，根据勾股定理得GM＝＝.
∵DG＝DM＋GM＝＋，∴BE＝DG＝＋.
(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大．∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2＋4＝6.
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