由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
专题复习(五) 解直角三角形及其实际应用
类型1 解直角三角形
1．如图，在△ABC中，∠B＝135°，tanA＝，BC＝6.
(1)求AC长；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
∵在△ABC中，∠B＝135°，
∴∠CBD＝45°.
∴BD＝CD.
∵BC＝6，
∴BD＝CD＝6.
∵tanA＝，
∴AD＝＝15，AB＝AD－BD＝9.
∴AC＝＝3.
(2)S△ABC的面积＝·AB·CD＝×9×6＝27.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，点D在BC边上，DC＝AC＝6.
(1)求AB的值；
(2)求tan∠BAD的值．
解：(1)∵∠C＝90°，sin B＝，
sin B＝，AC＝6，
∴AB＝10，即AB的值是10.
(2)过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E.
∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8.
又∵CD＝6，
∴BD＝BC－CD＝2.
∵∠C＝90°，DC＝AC＝6，
∴tan∠ADC＝＝1，AD＝6.
∴∠ADC＝45°.
∴∠BDE＝∠ADC＝45°.
又∵BD＝2，BE⊥AD，即∠E＝90°，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴BE＝DE＝BD·cos45°＝.
∴AE＝AD＋DE＝7.
∴tan∠BAD＝＝＝，
即tan∠BAD＝.
3．(2016·广东)如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HCI，∠HCI＝90°，若AC＝a，求CI的长．
解：由题意，知∠A＝∠EDC＝∠GFC＝∠IHC＝60°.
∵AC＝a，
故DC＝AC·sin 60°＝a.
同理，CF＝DC·sin 60°＝a，
CH＝CF·sin 60°＝a.
在Rt△HIC中，∠IHC＝60°，
则CI＝CH·tan60°＝a.
类型2 解直角三角形的实际应用
4．五一期间，小明同学到滨湖湿地公园参加校无线电测向科技社团组织的实践活动，目标点B在观测点A北偏西30°方向，距观测点A直线距离600米．由于观测点A和目标点B之间被一片湿地分隔，无法直接通行，小明根据地形决定从观测点A出发，沿东北方向走一段距离后，到达位于目标点B南偏东75°方向的C处，求小明还要走多远才能到达目标点B？(结果保留根号)
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝30°.
又∠FBC＝75°，
∴∠ABD＝45°.
又AB＝600米，
∴AD＝DB＝300米．
∵∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝60°，tan∠C＝.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴CD＝＝100米．
∴BC＝BD＋CD＝(300＋100)米．
答：小明还要走(300＋100)米才能到达目标点B.
5．(2016·合肥十校联考)现有一个“Z”型的工件(工件厚度忽略不计)，如图所示，其中AB为20 cm，BC为60 cm，∠ABC＝90°，∠BCD＝50°，求该工件如图摆放时的高度(即A到CD的距离)．
(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 50°≈0.766，
cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F.
在Rt△BCE中，∵sin∠BCE ＝，
∴BE＝BC·sin∠BCE≈45.96 .
又∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝50°.
在Rt△ABF中，cos∠ABF ＝，
∴BF＝AB·cos∠ABF≈12.86.
∴EF＝ BE ＋BF
＝45.96＋12.86
＝58.82≈58.8.
答：工件摆放时的高度约为58.8 cm .
6．(2016·舟山)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
解：∵∠BDC＝90°，BC＝10，sinB＝，
∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9.
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°.
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝CD·tan∠ACD
≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)．
答：改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．
7．(2016·阜阳校级二模)如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时测得小船C的俯角是∠FDC＝30°.若小华的眼睛与地面的距离是米，BG＝1.5米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝10米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长是多少？(结果保留根号)
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA延长线于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.
∵i＝＝，AB＝10，
∴BE＝8, AE＝6.
∵DG＝，BG＝1.5，
∴DH＝DG＋GH＝＋8，
AH＝AE＋EH＝6＋1.5＝7.5.
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8＋，tan 30°＝＝＝，
∴CH＝8＋3.
又∵CH＝CA＋7.5，
即8＋3＝CA＋AH，
∴CA＝(8－4.5)米．
答：CA的长是(8－4.5)米．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付