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专题复习(四) 规律探索题
类型1 数式的变化规律
1．(2016·邵阳)如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)
A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1
2．(2016·娄底)“数学是将科学现象升华到本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示(A)
A．CnH2n＋2 B．CnH2n
C．CnH2n－n D．CnHn＋3
3．(2016·合肥十校联考一模)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，则an＋an＋1＝(D)
A．n2＋n B．n2＋n＋1
C．n2＋2n D．n2＋2n＋1
4．(2015·孝感)观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2 015＝1_016_064或1_0082．
5．(2015·安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜测x，y，z满足的关系式是xy＝z．
6．(2016·桐城模拟)计算下列各题：，，，，…，观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得＝n，则m＝8_068，n＝2_018．
7．(2016·合肥高新区一模)观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…，解答下列问题：3＋32＋33＋…＋32 015的末位数字是9．
8．(2016·合肥六大名校押题卷)观察下列等式：
①＝－，②＝－，
③＝－，….
按照此规律，解决下列问题：
(1)完成第④个等式；
(2)写出你猜想的第m个等式(用含m的式子表示)，并证明其正确性．
解：(1)＝－.
(2)＝－.
证明：
右边＝
＝
＝
＝左边．
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∴＝－.
9．(2016·阜阳九中三模)观察下列关于自然数的等式：
32－4×1＝4＋1 ①
52－4×2＝16＋1 ②
72－4×3＝36＋1 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第④个等式：(9) 2－4×(4)＝(64)＋1；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
解：(2n＋1)2－4n＝(2n)2＋1.
验证：左边＝(2n＋1)2－4n
＝4n2＋4n＋1－4n
＝4n2＋1＝右边．
∴等式成立
类型2 图形的变化规律
10．(2016·宁国调研)将一些相同的图形“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“”的个数，若第n个图形中有272个“”，则n的值是(C)
A．88 B．89 C．90 D．91
11．(2016·阜阳颍泉区二模)如图，图①由4个正三角形和3个正六边形拼成，图②由8个正三角形和5个正六边形拼成，图③由12个正三角形和7个正六边形拼成，…依此规律，则第n个图案中，正三角形和正六边形的个数分别是(D)
A．n2＋n＋2，2n＋1 B．2n＋2，2n＋1
C．4n，n2－n＋3 D．4n，2n＋1
12．(2016·内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2 016B2 016C2 016D2 016的边长是(D)
A. B.
C. D.
13．(2016·宁波)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需50根火柴棒．
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14．(2016·合肥十校联考)观察下列图形规律：当n＝11时，图形“△”的个数是“●”的个数的2倍．
…
15．(2016·马鞍市当涂县五校联考)如图，一个3×2的矩形(即长为3，宽为2)可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即小正方形的个数最多是6个，最少是3个．
(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最少是4个，最多是10个；
(2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最少是5个，最多是14个；
(3)一个(2n＋1)×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是4n＋2个，最少是n＋2个．(n是正整数)
16．(2016·马鞍山二模)如图，将边长分别为1，2，3，5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①，矩形②，矩形③，矩形④，…那么按此规律．
(1)组成第n个矩形的正方形的个数为n＋1个；
(2)求矩形⑥的周长．
解：①的周长为2×(1＋2)，②的周长为2×(2＋3)，③的周长为2×(3＋5)，④的周长为2×(5＋8)，由此可推出第n个矩形的宽为第n－1个矩形的长，第n个矩形的长为第n－1个长方形的长和宽的和．
∴：第⑤个矩形的周长为2×(8＋13)，第⑥个矩形的周长为2×(13＋21)＝68.
17．(2016·芜湖南陵县一模)正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)．
(1)填写下表：
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
4
6
8
10
…
2(n＋1)
(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由．
解：能.1 007个点．设点数为n，则
2(n＋1)＝2 016，解得n＝1 007.
答：原正方形能被分割成2 016个三角形，此时正方形ABCD内部有1 007个点．
类型3 点的坐标规律
18．(2016·河南)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)
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A．(1，－1) B．(－1，－1)
C．(，0) D．(0，－)
19．(2016·岳阳)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，点P2 016的坐标为(504，－504)．
20．(2016·鄂州)如图，直线l：y＝－x，点A1坐标为(－3，0)．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2 016的横坐标为－．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为(1，0)，将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；…如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…，根据以上规律，请直接写出OM2 016的长度为21_008．
22．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是(16，3)．
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(2)若按(1)中找到了规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出Bn的坐标是(2n＋1，0)．
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