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专题复习(十一) 几何探究题
类型1 与全等三角形有关的几何探究题
1．(2016·丹东模拟)已知，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE＝BC－CD；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE，BC，CD三条线段之间的关系；
(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF，CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
BD＝CE.
∴∠ACB＋∠ACE＝90°.∴∠ECB＝90°.
∴BD⊥CE，CE＝BC－CD.
(2)CE＝BC＋CD.
(3)△ACF是等腰三角形．理由：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ABD＝135°.∴∠DCE＝90°.
又∵点F是DE中点，∴AF＝CF＝DE.
∴△ACF是等腰三角形．
2．(2016·贵阳)(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断
中线AD的取值范围是2EM，∴BE＋CF>EF.
(3)BE＋DF＝EF，理由：
延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN.
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，
∴∠NBC＝∠D.
在△NBC和△FDC中，
∴△NBC≌FDC(SAS)．
∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠BCE＋∠FCD＝70°.∴∠ECN＝70°＝∠ECF.
在△NCE和△FCE中，
∴△NCE≌△FCE(SAS)．∴EN＝EF.
∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.
3．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图，正方形ABCD，点O为两条对角线的交点．
(1)如图1，点M，N分别在AD，CD边上，∠MON＝90°，求证：OM＝ON；
(2)如图2，若AE交CD于点E，DF⊥AE于点F，在AE上截取AG＝DF，连接OF，OG，则△OFG是哪种特殊三角形，证明你的结论；
(3)如图3，若AE交BC于点E，DF⊥AE于点F，连接OF，求∠DFO的度数．
解：(1)证明：连接OA，OD，则OA＝OD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，∠OAM＝∠ODN＝45°.
∵∠MON＝90°，
∴∠AOD－∠MOD＝∠MON－∠MOD.
∴∠AOM＝∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA)．
∴OM＝ON.
(2)△OFG为等腰直角三角形．
证明：连接OA，OD，则OA＝OD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，∠OAD＝∠ODC＝45°.
∵DF⊥AE，
∴∠DAE＋∠ADF＝∠ADF＋FDE＝90°.
∴∠DAE＝∠FDE.∴∠OAG＝∠ODF.
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又∵AG＝DF，∴△OAG≌△ODF(SAS)．
∴OG＝OF，∠AOG＝∠DOF.
∴∠GOF＝∠GOD＋∠DOF＝∠GOD＋∠AOG＝90°.
故△OFG为等腰直角三角形．
(3)在AE上截取AG＝DF，连接OA，OD，OG，其中OA与DF交于点H，则AO＝DO.
∵∠AFD＝∠AOD＝90°，∠AHF＝∠DHO，
∴∠GAO＝∠FDO.
∴△OAG≌△ODF(SAS)．
∴OG＝OF，∠AOG＝∠DOF.
∴∠GOF＝∠GOA－∠FOA＝∠DOF－∠FOA＝90°.
∴∠GFO＝45°.
∵DF⊥AE.
∴∠DFO＝45°.
4．(2015·蚌埠六校联考)正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上(不含点B)，∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图1)．求证：△BOG≌△POE；
(2)通过观察、测量、猜想：＝，并结合图2证明你的猜想；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图3)，若∠ACB＝α，求的值．(用含α的式子表示)
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，点P与点C重合，
∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°.
∵PF⊥BG，∴∠PFB＝90°.
∴∠GBO＝90°－∠BGO，∠EPO＝90°－∠BGO.
∴∠GBO＝∠EPO.∴△BOG≌△POE(ASA)．
(2)证明：过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB.
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB.
∴NB＝NP.
∵∠MBN＝90°－∠BMN，∠NPE＝90°－∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE.
∴△BMN≌△PEN(ASA)．∴BM＝PE.
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB.
∴∠BPF＝∠MPF.
∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°.
又∵PF＝PF，∴△BPF≌△MPF(ASA)．
∴BF＝MF，即BF＝BM.
∴BF＝PE，即＝.
(3)过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N.
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∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90°.
由(2)同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN.
∵∠BNM＝∠PNE＝90°.∴△BMN∽△PEN.
∴＝.
在Rt△BNP中，tanα＝.∴＝tanα，
即＝tanα.∴＝tanα.
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