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第18讲 解直角三角形
1．(2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C )
A. B. C. D.
2．(2016·芜湖南陵县模拟)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是( A )
A. B. C. D.
3．(2016·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )
A．sinB＝ B．sinB＝
C．sinB＝ D．sinB＝
4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( D )
A. B. C. D.
5．(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )
A.米 B.米 C.米 D.米
6．(2016·白银)如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．
7．(2016·岳阳)如图，一山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了100米．
8．(2016·灵璧县模拟)某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，
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组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡比i＝1∶，BC＝50 m，∠ACB＝135°.求AB及过A点作的高是多少？(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过A点作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
∵∠ACB＝135°，
∴∠ACD＝45°，即△ADC为等腰直角三角形．
设AD＝x，则CD＝x，
在Rt△ADB中，BD＝50＋x，
由斜坡AB的坡比i＝1∶ ，得x∶(x＋50)＝1∶，
解得x≈68.5，即AD＝68.5 m.
∵i＝1∶，∴∠ABD＝30°.
∴AB＝2AD＝137.0 m.
答：斜坡AB长137.0m，馆顶A高68.5 m.
9．(2016·芜湖南陵县模拟)国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度h为2 001米，在点A测得高华峰峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1 200米到达B点后测得峰顶F点的俯角为45°，如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度是多少米．(结果保留整数，参考数据：≈1.732，≈1.414)
解：过点F作FC⊥AB交AB延长线于点C，
设CF＝x. 在Rt△BCF中，
∵∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x .
在Rt△ACF中，∵tan30°＝，
∴AC＝＝x.
∵AB＝AC－BC＝1 200，
∴x－x＝1 200，解得x＝＝600(＋1)．
∴DF＝h－x＝2 001－600(＋1)＝1 401－600≈362(米)．
答：钓鱼岛的最高海拔高度约是362米 .
10．(2016·繁昌县模拟)将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1 cm，参考数据：≈1.73，≈1.41)．
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图1 图2
解：过点P作PN⊥AB于点N.
由题意，得∠ABP＝30°，AB＝8 cm，
∴AP＝4 cm，BP＝AB·cos30°＝4 cm.
∴NP·AB＝AP·BP.
∴NP＝＝＝2(cm)．
∴9－2≈5.5(cm)．
答：容器中牛奶的高度约为5.5 cm.
11．(2016·永州)下列式子错误的是( D )
A．cos40°＝sin50°
B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1
D．sin60°＝2sin30°
12．(2016·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
13．(2016·福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是．
提示：连接AE，CE，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a，∴∠AEB＝90°，∴tan∠ABC＝＝＝.
14．(2016·淮北濉溪县模拟)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1∶(即tan∠DEM＝1∶)，且D，M，E，C，N，B，A在同一平面内，E，C，N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)
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解：过点D作DH⊥AN于H，作DF⊥ME于F.
∵坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1∶，
∴DF＝10米，EF＝10米．
∵DH＝EF＋EC＋CN＝(10＋30)米，∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝(10＋10)米．
∴AN＝AH＋DF＝(20＋10)米．
又∵∠BCN＝45°，
∴CN＝BN＝20米．
∴AB＝AN－BN＝10米≈17米．
答：条幅的长度约为17米．
15．(2016·连云港)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)
解：(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
在Rt△ADC中，AC＝4，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×＝2.
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16.
∴BC＝BD－CD＝16－2.
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM.
∵∠ACB＝150°，∴∠AMD＝∠MAC＝15°.
∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝≈0.3.
16．(2016·资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
解：(1)延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
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由题意可得∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则DC＝60海里．
∴cos30°＝＝＝，解得AC＝40.
答：点A到岛礁C的距离为40 海里．
(2)过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥BD于点E，
可得∠BA′A＝45°，∠1＝30° ∠CBA＝30°，∠A′BA＝15° ∠2＝15°，∴A′B平分∠CBA，∴A′N＝A′E.
设AA′＝x，则A′E＝x，
∴CA′＝2A′N＝2×x＝x.
∵AC＝CA′＋AA′，即x＋x＝40，
解得x＝(60－20)．
答：此时“中国海监50”的航行距离为(60－20)海里．
17．(沪科版九下教材P132T8变式)(2016·安徽利辛中疃模拟)“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米．此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：此车没有超速．
理由：过C作CH⊥MN.
∵∠CBN＝60°，BC＝200米，
∴CH＝BC·sin60°
＝200×＝100(米)，
BH＝BC·cos60°＝100(米)．
∵∠CAN＝45°，
∴AH＝CH＝100米．
∴AB＝AH－BH＝100－100≈73(米)．
∵60千米/小时＝米/秒，
∴＝14.6米/秒＜≈16.7米/秒．
∴此车没有超速．
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