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第20讲 矩形、菱形和正方形
1．(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．(2016·营口)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为( A )
A．2 B．3 C．2 D．4
3．(2016·宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF，若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( A )
A．2 B. C．6 D．8
4．(2016·台湾)如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( C )
A．50° B．55° C．70° D．75°
5．(2016·绥化)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为( B )
A．4 B．8 C．10 D．12
6．(2016·阜阳二模)如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE，若使四边形BECF是菱形，则需增加的条件可以是( B )
A．DF＝CD B．AC＝AB C．AC⊥AB D．CF⊥AD
7．(2016·合肥高新区一模)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，点H是AF的中点，那么CH的长是( B )
A．2.5 B. C. D．2
提示：连接AC，CF，易证∠ACF＝90°，CH＝AF.
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8．(2016·西宁)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是16．
9．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．
10．(2016·龙东)如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．
11．(2016·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为3.5．
提示：易知CF＝DE＝EF＝，∴DE＝13.∴DC＝BC＝＝12.∴BE＝12－5＝7.∴OF＝BE＝.
12．(2016·芜湖南陵县一模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD.
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝BD.
∴AF＝DC.
(2)四边形ADCF是菱形．
证明：∵AF∥BC，AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BC＝DC.
∴平行四边形ADCF是菱形．
13．(2016·马鞍山一模)如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC的三等分点，连接OB，OD，
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且OB＝OC＝OD.已知AC＝3，那么菱形的边长为( A )
A. B．2 C. D.
14．(2016·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为( B )
A. B．2 C. D．10－5
15．(2016·宿州灵璧县一模)如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE.其中正确结论有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．(2016·阜阳校级一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF，下列结论：①△DEF是等边三角形；②∠CDF＝2∠ADE；③四边形DEBF的面积是9；④若AE＝AB，则DE＝2.其中一定正确的结论是①③④(把所有正确结论的序号都写在横线上)．
19．(2016·宁国模拟)阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC，交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．
探究发现：
(1)当对角线AC，BD满足AC⊥BD时，四边形OEMF是矩形；
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．
拓展延伸：
(3)如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：(2)四边形OEMF是菱形．
证明：在矩形ABCD中，OA＝OB.
∵点M是AB的中点，ME∥BD，MF∥AC，
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∴ME＝OB，MF＝OA.
∴ME＝MF.
又∵四边形OEMF是平行四边形，
∴四边形OEMF是菱形．
(3)MF＋OA＝ME.
理由：在矩形ABCD中，OA＝OB，
∵ME∥BD，MF∥AC，
∴四边形OEMF是平行四边形．∴MF＝EO，∠OAB＝∠OBA＝∠EMA.∴EA＝EM.
又∵MF＝OE，∴MF＋OA＝ME.
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