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类型2 与相似三角形有关的几何探究题
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5．(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)求线段BG的长；
(2)求证：DG平分∠EDF；
(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.
解：(1)∵D，E，F分别是△ABC三边中点，∴DE∥AB，DE=AB，DF∥AC，DF=AC.
又∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，
即BD＋DG＋BG＝AC＋CD＋DG＋AG，
∴BG＝AC＋AG.
∵BG＝AB－AG，∴BG＝＝.
(2)证明：BG＝，FG＝BG－BF＝－＝，∴FG＝DF.∴∠FDG＝∠FGD.
又∵DE∥AB，∴∠EDG＝∠FGD.
∴∠FDG＝∠EDG.
∴DG平分∠EDF.
(3)证明：在△DFG中，∠FDG＝∠FGD，∴△DFG是等腰三角形．
∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形．
∴BD＝DG.
∴CD＝BD＝DG.∴B，G，C三点共圆．
∴∠BGC＝90°.∴BG⊥CG.
6．(2016·合肥十校联考)如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB·AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．
(1)如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，那么∠DAB＝120°；
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，且∠BCD＝150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，求AD的长．
解：(1)提示：由题意易知△ADC∽△ACB，则∠D＝∠ACB，∠ACD＝∠B.∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAB＝×360°＝120°.
(2)证明：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°.
∵∠DCB＝150° ，∴∠DCA＝150°－∠ACB.
在△ADC中，∠ADC＝180°－ ∠DAC－ ∠DCA ＝180°－30°－(150°－∠ACB)＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC.
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∴＝.∴AC2＝AB·AD.
又∠DAC＝∠CAB，
∴四边形ABCD为“可分四边形”．
(3)∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，
∴AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD.
∴∠DAC＝∠CAB，＝.∴△ACD∽△ABC.
∴∠ACB＝∠D＝90°.
在Rt△ACB中，AB＝＝2.
∵ AC2＝AB·AD，∴AD＝＝＝.
7．(2016·淮北濉溪县一模)(1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·BC＝AP·BP；
(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；
(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，即∠ADP＝∠BPC.
∴△ADP∽△BPC.
∴＝，即AD·BC＝AP·BP.
(2)结论AD·BC＝AP·BP仍然成立．
理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD＝∠A＋∠ADP，
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.
∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.
∴△ADP∽△BPC.
∴＝，即AD·BC＝AP·BP.
(3)过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.
由勾股定理可得DE＝4.
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC＝DE＝4.∴BC＝BD－DC＝1.
又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.
∴∠DPC＝∠A＝∠B.
由(1)、(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP.
∴5×1＝t(6－t)，解得t1＝1，t2＝5.
∴t的值为1或5.
8．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点M，N分别在AC，BC上，将△ABC沿MN折叠，顶点C恰好落在斜边的P点上．
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(1)如图1，当MN∥AB时，求证：
①AM＝MC；②＝；
(2)如图2，当MN与AB不平行时，＝还成立吗？请说明理由．
解：(1)证明：①由折叠可知∠CMN＝∠NMP，CM＝PM.
∵MN∥AB，∴∠CMN＝∠A，∠NMP＝∠MPA，即∠A＝∠MPA.
∴MA＝MP.
∴AM＝MC.
②由①可知∠CMN＝∠A＝45°，∠CNM＝∠B＝45°，∠A＝∠B＝45°，
∴MC＝NC＝AM＝BN，∠PMA＝∠PNB＝90°.
∴△APM∽△BPN.
∴＝.∴＝.
(2)成立．理由：
过点M，N分别做AB的垂线，垂足分别为点E，F.
由题意可知，CM＝PM，CN＝PN，∠MPN＝90°，
∴∠MPE＋∠NPF＝90°.
∵∠MPE＋∠EMP＝90°，∴∠EMP＝∠NPF.
∴△MEP∽△PFN.∴＝＝.
∵∠A＝∠B＝45°，ME⊥AP，NF⊥AB，
∴△MAE和△NFB均为等腰直角三角形，即ME＝AE，NF＝BF.
∵＝.∴＝.
∴＝，即＝.
∴＝＝.
∴＝＝.
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