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专题复习(六) 圆的计算与证明
1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求的度数；
(2)若AB＝26，DE＝8，求AC的长．
解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°.
又∵∠B＝70°，∴∠BAC＝20°.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝55°.
∴∠DAC＝35°.
∴∠DOC＝70°.
∴的度数是70°.
(2)∵AB＝26，∴OD＝13.
又∵DE＝8，∴OE＝5.
∵OD∥BC，OA＝OB，
∴BC＝2OE＝10.
∴AC＝＝24.
2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长．
解：(1)证明：连接DE.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°.
∵E是AB的中点，∴DA＝DB.
∴∠1＝∠B.
∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.
(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2.
∴AB＝2AE＝4.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，
∴BC＝＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，
∴x＝3，即CD＝3.
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3．(2016·繁昌模拟)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为的中点．
(1)求证：AB＝BC；
(2)判断四边形BOCD的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OCB＝30°＝∠A.
∴AB＝BC.
(2)四边形BOCD为菱形，理由如下：
连接OD交BC于点M.
∵D是的中点，∴OD垂直平分BC.
在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，
∴OC＝2OM＝OD.
∴OM＝DM，即OD与BC互相垂直平分．
∴四边形BOCD是菱形.
4．(2016·合肥高新区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：(1)证明：连接AE.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC.
又AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)连接DE.
∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.
∵∠BAC＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠BAC.
∵∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC.
∴＝，即＝，即BA＝9.
∴AC＝BA＝9.
5．(2016·宁国模拟)如图，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.
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(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，而∠CMP的大小不变，请求出∠CMP的大小．
解：(1)连接OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝AB＝2，∠CPA＝30°，
∴PC＝＝＝2.
(2)∵PM平分∠CPA，
∴∠MPA＝∠CPO.
∵∠CMP＝∠A＋∠MPA，∠A＝∠COP.
∴∠CMP＝(∠COP＋∠CPO)＝×90°＝45°.
6．(2016·安徽一模)如图1，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D，E.
(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；
(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M，N两点(如图2)，MN＝2，求的长．
解：(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切．
理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到BA′的位置时．
则∠A′BO＝30°，
过O作OG⊥BA′，垂足为G.
∴OG＝OB＝2.
∴BA′是⊙O的切线．
同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA′的位置时，BA′也是⊙O的切线．
(或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，设切点为G，连接OG，则OG⊥AB.
∵OG＝OB，∴∠A′BO＝30°.
∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度．
同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120度．)
(2)∵MN＝2，OM＝ON＝2，
∴MN2＝OM2＋ON2.
∴∠MON＝90°，
∴l的长为l＝＝π.
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7．(2016·合肥六大名校联考)如图，AB是⊙O的一条弦，C，D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD.
(1)已知AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；
(2)已知∠ADB＝45°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)证明：易得＝＝，
∴＝，即AB＝CD.
(2)∵S四边形ACBD＝△ADB的面积＋△ACB的面积．
设△ADB和△ACB的公共边AB上的高分别为h1，h2，则h1＋h2的最大值为⊙O的直径．
即当点C在劣弧AB的中点，点D在优弧AB的中点时，四边形ACBD的面积最大(如图)．
∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，
∵AO＝BO＝1，∴AB＝，
∴S四边形ACBD的面积＝AB·(h1＋h2)＝××2＝.
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