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单元测试(五) 四边形
(时间：100分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
B
C
B
A
C
C
B
A
C
1．十二边形的外角和等于( B )
A．180° B．360° C．540° D．1 800°
2．如果正n边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么n的值是( B )
A．9 B．8 C．6 D．7
3．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( D )
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
4．如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为( C )
A．6 B．9 C．12 D．15
5．如图，在▱ABCD中，已知∠COB与∠ACB互余，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
6．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．如图，刘海从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，刘海共走了120米回到点P，则α的度数为( B )
A．18° B．24° C．30° D．36°
8．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF，GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有( C )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．(2016·阜阳二模)如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若点E为AB的中点．且满足BE＋DF＝EF，则EF的长为( C )
A．4 B．3 C．5 D．4
10．(2016·濉溪三模)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E，G，H，F分别在AB，BC，CD，AD上，
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且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE，PF，PG，PH，则图中阴影面积(△PEF和△PGH的面积和)等于( A )
A．7 B．8 C．12 D．14
提示：连接EG，FH，则S阴影＝S▱EFHG＝(S▱ABCD－S△AEF－S△BEG－S△CHG－S△DHF)＝×(4×6－×2×3－×1×4－×2×3－×1×4)＝×(24－6－4)＝7.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若凸n边形的内角和为1 260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是6．
12．矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，AB＝6，则BC＝6．
13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是3＜x＜11．
14．(2016·安徽模拟)如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于P，连接PB.若AE＝AP＝1，PB＝3，下列结论：
①△ADP≌△ABE；②BE⊥DE；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8＋.
正确结论的序号是①②④.
提示：①首先利用已知条件根据边角边可以证明△ADP≌△ABE；
②利用全等三角形的性质对顶角相等即可解答；
③由(1)可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE，过点B作BF⊥AE，延长线于点F，由①得∠AEB＝135°，所以∠FEB＝45°，所以△EFB是等腰直角三角形，故B到直线AE距离为BF＝；
④根据勾股定理得到BF，得到AF的长，再利用勾股定理解答即可．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AE，CD＝AB.
∴∠DCF＝∠EBF，∠CDF＝∠BEF.∵CF＝BF，∴△CDF≌△BEF(AAS)．
∴CD＝BE.∴AB＝BE.
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE.求证：四边形BECF是菱形．
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证明：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF.
∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF.
∴四边形BECF是菱形．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．猜想：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
∵CF⊥BE.∴∠A＝∠BFC＝90°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC.
又∵BC＝BE(同一半径)，∴△BFC≌△EAB(AAS)．∴BF＝AE.
18．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证：AF＝BF＋EF.
证明：∵ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠DEG＝∠AED＝90°.∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
又∵∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.
∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED.
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴BF＝AE.∵AF＝AE＋EF，∴AF＝BF＋EF.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE＝BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可)．
(1)连接AF；
(2)猜想：AF＝AE；
(3)证明：
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.∴∠ABF＝∠ADE.
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在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE.∴AF＝AE.
20．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形．∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°.
∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6.∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.
又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
六、(本题满分12分)
21．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.
(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：▱ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
解：(1)证明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A.∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴▱ABCD是矩形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．
∴DQ＝PQ.设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.
在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2，∴x2＋22＝(6－x)2，解得x＝.∴AQ的长是.
七、(本题满分12分)
22．已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M，N(如图1)．
(1)求证：BM＝DN；
(2)如图2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
(3)在(2)的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1∶3，求的值．
解：(1)证明：连接BD，则BD过点O.
∵AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODN.又∵OB＝OD，∠BOM＝∠DON，
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∴△OBM≌△ODN(ASA)．∴BM＝DN.
(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵BM＝DN，∴AN＝CM.∴四边形AMCN是平行四边形．
由翻折得AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形．
(3)∵S△CDN＝DN·CD，S△CMN＝CM·CD，S△CDN∶S△CMN＝1∶3，∴DN∶CM＝1∶3.
连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN.设DN＝k，则CN＝AN＝CM＝3k，AD＝4k.
∴CD＝＝＝2k，OC＝AC＝＝＝k.
∴MN＝2ON＝2＝2＝2k.
∴＝＝2.
八、(本题满分14分)
23. (2016·宿州灵璧县一模)如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证：EF＝EG；
(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；
(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求的值．
解：(1)证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，
∴∠DEF＝∠GEB.
在△FED和△GEB中，
∴Rt△FED≌Rt△GEB(ASA)．∴EF＝EG.
(2)成立．
证明：过点E作EH⊥BC于点H，EP⊥CD于点P.
∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD.
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH＝EP.∴四边形EHCP是正方形．∴∠HEP＝90°.
∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠PEF＋∠HEF＝90°，∴∠PEF＝∠GEH.
∴Rt△FEP≌Rt△GEH.
∴EF＝EG.
(3)过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于点N，则∠MEN＝90°，
∴EM∥AB，EN∥AD.
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB.
∴＝，＝.
∴＝，即＝＝＝.
∵∠NEF＋∠FEM＝∠GEM＋∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN.
∵∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE.
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∴＝，∴＝.
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