第4章 图形的初步认识
4.6 角
3. 余角和补角
1．如图，∠AOB＝90°，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A.35° B.40° C.45° D.60°
2．下列说法中，正确的有( )
①若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1、∠2、∠3互为补角
②只有锐角才有余角
③已知一个角为α，这个角的补角可以表示为180°－α
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
3．[2017·广东]已知∠A＝70°，则∠A的补角为( )
A.110° B.70°
C.30° D.20°
4．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
5．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝50°，则∠BOC＝______ .
6．[2017·泰兴市校级三模]若∠α＝32°22′，则∠α的余角的度数为_______．
8
7．如图，将一副直角三角尺叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝_______．
8．如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角，∠DOC＝62°，求∠AOB的度数．
9．如图，已知∠AOB＝50°，OC平分∠AOB.
(1)请在图中∠AOB的外部画出它的一个余角∠BOD；
(2)求∠COD的度数．
10．如图，已知OB的方向是南偏东60°，OA、OC分别平分∠NOB和∠NOE.
(1)请直接写出OA的方向和OC的方向；
(2)求∠AOC的度数．
8
11．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOC与∠DOE互余．若∠AOC＝108°，求∠DOE的度数．
12．[2017·雅安期末]阅读解题过程，回答问题．
如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．
解：过O点作射线OM，使点M、O、A在同一直线上．
因为∠MOD＋∠BOD＝90°，∠BOC＋∠BOD＝90°，所以∠BOC＝∠MOD，
所以∠AOD＝180°－∠MOD＝180°－30°＝150°.
(1)如果∠BOC＝60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC＝n°，那么∠AOD等于多少度？
(2)如果∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．
13．[2017·丰县校级月考]如图，点O在直线AB上，OE、OD分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)∠AOE的补角是∠_______；∠BOD的余角是_______；
(2)若∠AOC＝118°，求∠COD的度数；
8
(3)射线OD与OE之间有什么特殊的位置关系？为什么？
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠DOF＝90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
参考答案
【分层作业】
1．A
2．B
3．A
4．C 5． 50°．
6. 57°38′
7． 180°
8. 解：因为∠BOC是直角，∠DOC＝62°，
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所以∠BOD＝∠BOC－∠DOC＝90°－62°＝28°.
因为∠AOD是直角，
所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝118°.
9.解：(1)如答图所示：
第9题答图
(2)∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝25°.
又∵∠AOB与∠BOD互余，
∴∠AOB＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝90°－50°＝40°，
∴∠COD＝∠COB＋∠BOD＝25°＋40°＝65°.
10. 解：(1)OA的方向是北偏东60°，OC的方向是北偏东45°；
(2)因为OB的方向是南偏东60°，所以∠BOE＝30°，
所以∠NOB＝30°＋90°＝120°.
因为OA平分∠NOB，所以∠NOA＝∠NOB＝60°.
因为OC分别平分∠NOE，
所以∠NOC＝∠NOE＝45°，
所以∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
11. 解：因为∠AOC＝108°，
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－108°＝72°.
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因为∠BOC与∠DOE互余，
所以∠DOE＝90°－∠BOC＝90°－72°＝18°.
12. 解：(1)如果∠BOC＝60°，那么∠AOD＝180°－60°＝120°.
如果∠BOC＝n°，那么∠AOD＝180°－n°.
(2)因为∠AOB＝∠DOC＝x°，∠AOD＝y°，
且∠AOD＝∠AOB＋∠DOC－∠BOC，
所以∠BOC＝∠AOB＋∠DOC－∠AOD＝2x°－y°.
13.(1)BOE ∠AOE和∠COE
【解析】(1)∵点O在直线AB上，
∴∠AOE的补角是∠BOE.
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，
∴2∠EOC＋2∠DOC＝180°，∠AOE＝∠COE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOD＋∠AOE＝90°，∠BOD＋∠COE＝90°，即∠BOD的余角是∠AOE和∠COE.
解：(2)∵∠AOC＝118°，
∴∠BOC＝62°.
又∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOC＝31°.
(3)射线OD与OE互相垂直．理由：
∵由(1)可知∠DOE＝90°，∴OD⊥OE.
14. 解：(1)因为直线AB、CD相交于点O，
所以∠AOC、∠BOD与∠AOD互补．
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠EOF.
因为∠COF＝∠DOF＝90°，
所以∠DOE＝∠AOC，
所以∠DOE也是∠AOD的补角，
所以与∠AOD互补的角有∠AOC、∠BOD、∠DOE.
(2)因为OF平分∠AOE，
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所以∠AOF＝∠AOE＝60°.
因为∠COF＝90°，
所以∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－60°＝30°.
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠BOD＝∠AOC＝30°.
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