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第 31 讲 与圆有关的位置关系
题一： 如图，△ABC 是边长为 10 的等边三角形，以 AC 为直径作⊙O，D 是 BC 上一点，BD = 2，以
点 B 为圆心，BD 为半径的⊙B 与⊙O 的位置关系为 .
题二： 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 16，BC = 6，AC 为⊙O 的直径，⊙B 的半径长为 r．
(1)当 r = 2 时，求证：⊙O 与⊙B 外切；
(2)求当⊙B 与⊙O 内切时，r 的值．
题三： 如图，已知梯形 ABCD 中 ，AD∥BC，∠C = 90°，AD+BC = AB，以 AB 为直径作⊙O．
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)试探索以 CD 为直径的圆与 AB 有怎样的位置关系？证明你的结论．
题四： 如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A = ∠B = 90°，E 是 AB 的中点，连接 DE、CE，AD+BC
= CD，以下结论：
(1)∠CED = 90°；
(2)DE 平分∠ADC；
(3)以 AB 为直径的圆与 CD 相切；
(4)以 CD 为直径的圆与 AB 相切．
其中正确结论的个数为( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个- 2 -3
第 31 讲 与圆有关的位置关系
题一： 外离．
详解：要判断两圆的位置关系，需要明确两 圆的半径和两圆的圆心距，再根据数量关系进
一步判断两圆的位置关系，设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心距为 d：外离，则 d＞
R+r；外切，则 d = R+r；相交，则 R－r＜d＜R+r；内切，则 d = R－r；内含，则 d＜R－
r．根据题意得，圆 O 的直径是 10，点 B 到点 O 的距离是 5 ，则 5 ＞5+2，所以⊙B 与
⊙O 的位置关系为外离．
题二： 见详解；(2)18．
详解：(1)如图，连接 BO，
∵AC = 16，∴OC = 8，∴BO = = 10，
当 r = 2 时，有 2+OC = 2+8 = 10 = OB，
∴⊙O 与⊙B 外切；
(2)由|r－8| = 10 得 r－8 = ±10，解得 r1 = 18，r2 =－2(舍去)，
所以当 r = 18 时，⊙O 与⊙B 内切．
题三： 见详解；(2) 以 CD 为直径的圆与 AB 相切，证明见详解．
详解：(1)过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，
∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC，
∵OA = OB，
∴OE 是梯形 A BCD 的中位线，
∴OE = (AD+BC)，
∵AD+BC = AB，
∴OE = AB，
∵以 AB 为直径作⊙O，
∴直线 CD 是⊙O 的切线；
(2)设以 CD 为直径的圆的圆心为 O′． 过点 O′作 O′F⊥AB 于点 F，过点 O′作 O′M∥AD，
连接 O′A，
∴O′M 是梯形 ABCD 的中位线，即 O 与 M 重合，
∴O′M = (AD+BC) = AB = MA，
3 3
2 2 2 26 8BC OC+ = +
1
2
1
2
1
2
1
24
∴∠O′AM = ∠AO′M，
∵AD∥O ′M，
∴∠DAO′ = ∠AO′M = ∠O′AM，
在△AO′D 和△AO′F 中， ，
∴△AO′D≌△AO′F (AAS)，
∴O′F = O′D = CD，
即 AB 与⊙O′相切．
题四： D．
详解：先过 E 作 EF∥BC，再过 E 作 EG⊥CD，分别与 CD 交于点 F、G．
(1)∵EF∥BC∥AD，E 是 AB 中点，
∴AE:BE = DF:CF，AE = BE，
∴DF = CF，
∴EF 是梯形 ABCD 的中位线，
∴EF = (AD+BC)，
又∵AD+BC = CD，
∴EF = CD，
∴△DEC 是直角三角形，
即∠DEC = 90°；
(2)∵EF∥BC∥AD，
∴∠1 = ∠DEF，
又∵EF 是 Rt△D EC 的中线，
∴DF = EF，
∴∠2 = ∠DEF，
∴∠1 = ∠2，
即 DE 平分∠ADC；
(3)∵EG⊥CD，∠A = 90°，
∴∠A = ∠EGD = 90°，
又∵∠1 = ∠2，ED = ED，
∴△AED≌△GED(A AS)，
∴EG = AE = AB，
又∵EG⊥CD，
90ADO' AFO'
O'A O
DAO FA
'A
O∠ ′
∠ = ∠
= ∠ ′
= °
=
1
2
1
2
1
2
1
25
∴CD 是⊙E 的切线，
即以 AB 为直径的圆与 CD 相切；
(4)∵∠A = 90°，EF∥AD∥BC，
∴∠BEF = 90°，
∴EF⊥AB，
又∵EF = CD，
∴AB 是⊙F 的切线，
即以 CD 为直径的圆与 AB 相切．
故此四个结论都正确，故选 D．
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