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第 6 讲 解一元二次方程——公式法（二）
题一： 解方程：
(1)
(2)
题二： 解方程：
(1)
(2)
题三： 已知关于x 的方程 x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0．当 m 取什么值时，方程有两个相等的实数根？
题四 ： 当 k 取什么值时，关于 x 的方程 x2+kx+k+3=0 有两个相等的实数根？
题五： 题面：已知关于 x 的方程 2x2 (4k+1)x+2k2 1=0，当 k 取什么值时，方程有两个不相等的
实数根．
题六： 若关于 x 的一元二次方程 mx2 (2m+1)x+m 2=0 有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值
范围．
题七： 下列方程中，无论 b 取什么实数，总有两个不相等的实数根的是( )
A．x2+bx+1=0 B．x2+bx=b2 C．x2+bx+b=0 D． x2+bx=b2+1
题八： 证明：无论 a 取何值，方程(x a)(x 3a 1)=1 必有两个不相等的实数根．
25 3 1x x x− = +
(2 4) 5 8x x x− = −
2 17 8x x+ =
2 2(2 1) (3 )x x− = −
− −
− −
− − +2
第 6 讲 解一元二次方程——公式法（二）
题一： 见详解．
详解：(1)方程化为
∵a 5，b 4，c 1，
∴△ b2 4ac 36＞0，
∴x ，
∴x1 1，x2 ．
(2)方程化为
∵a 2，b 4，c 5，
∴△ b2 4ac 56＞0，
∴x ，
∴x1 ，x2 ．
题二： 见详解．
详解：(1)方程化为
∵a 1，b 8，c 17，
∴△ b2 4ac 4＜0，
∴方程无实数解．
(2) 方程化为
∵a 3，b 2，c 8，
∴△ b2 4ac 100＞0，
∴x ，
∴x1 ，x2 ．
题三： ．
详解：∵方程 x2+2(2m+1)x+(2m+2)2= 0 有两个相等的实数根，
∴△=[2(2m+1)]2 4(2m+2)2=0，解得 m= ，
∴m= 时，方程有两个相等的实数根．
题四： 6 或 2．
详解：∵△=k2 4(k+3)=k2 4k 12，
25 4 1 0x x− − =
= = − = −
= − =
=
2 4
2
b b ac
a
− ± − = ( 4) 36
2 5
− − ±
× = 4 6
10
±
= = 1
5
−
22 4 5 0x x+ − =
= = = −
= − =
=
2 4
2
b b ac
a
− ± − = 4 56
2 2
− ±
× = 4 2 14
2 2
− ±
×
= 141 2
− + = 141 2
− −
2 8 17 0x x− + =
= = − =
= − = −
23 2 8 0x x+ − =
= = = −
= − =
=
2 4
2
b b ac
a
− ± − = 2 100
2 3
− ±
× = 2 10
2 3
− ±
×
= 4
3
= 2−
3
4
−
− 3
4
−
3
4
−
−
− − −3
又∵原方程有两个相等的实数根，
∴k2 4k 12=0，
解得 k1=6，k2= 2，
当 k=6 或 k= 2，原方程有两个相等的实数根．
题五： k＞ ．
详解：∵a=2，b= (4k+1)，c=2k2 1，
∴△=b2 4ac=[ (4k+1)]2 4×2×(2k2 1)=8k+9，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即 8k+9＞0，
解得 k＞ ．
题六： m＞ 且 m≠0．
详解：根据题意得，m≠0，且△＞0，
即△=[ (2m+1)]2 4m(m 2) 4m2+1 4m 4m2+ 8m=12m+1＞0，解得 m＞ ，
∴实数 m 的取值范围是 m＞ 且 m≠0．
题七： D．
详解：A．△=b2 4ac=b2 4×1×1=b2 4，不能保证△一定大于 0，故不符合题意．
B．△=b2 4ac=b2+ ×1×b2=5b2≥0，方程有两个实数根 ，两个实数根可能相等，故不符合
题意．
C．△=b2 4ac=b2 4×1×b=b2 4b，不能保证△一定大于 0，故不符合题意．
D．△=b2 4ac=b2 4×1×[ (b2+1)]=b2+ b2+ =5b2+ ＞0，方程一定有两个不相等的实数
根．
故选 D．
题八： 见详解．
详解：方程变形为 x2 (4a 1)x 3a2 a 1=0，
∵△=(4a 1)2 4(3a2 a 1) 4a2 4a 5=(2a 1)2 4，
∵( 2a 1)2≥0 ，∴△＞0，
所以无论 a 取何值，方程(x a)(x 3a+1)=1 必有两个不相等的实数根．
− −
−
−
9
8
−
− −
− − − −
9
8
−
1
12
−
− − − = + − 1
12
−
1
12
−
− − −
− 4
− − −
− − − 4 4 4
− − + − −
− − − − = − + − +
−
− −
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