1
第1讲 一元二次方程
新知新讲
题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．
(1)3x+2=5x3；(2)x2 = 4；(3)x2 4=(x+2)2．
题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2．
金题精讲
题一：关于 x 的方程 mxm+1+3x=6 是一元二次方程，求 m 的值．
题二：已知关于 x 的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0 是一元二次方程，则 a_______．
题三：关于 x 的方程(m3)x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一
元一次方程？
第2讲 一元二次方程的根
新知新讲
题一：下面哪些数是方程 2x2 +10x+12=0 的根？
4，3，2，1，0，1，2，3，4．
金题精讲
题一：已知方程 5x2 +mx6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________．
题二：如果 x=2 是方程 x2 m =0 的一个根，求 m 的值和方程的另一个根．
题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1)x264=0；(2)3 27x2 =0；(3)4(1 x)2 9=0．
题四：若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式 2010(a+b+c)
−
−
− − −2
的值．
第3讲 解一元二次方程——直接开方法
新知新讲
题一：用直接开方法解下列方程．
(1)x2 16=0；(2)4x2 25=0．
题二：解下列方程．
(1)(2x3)2 = 49；(2)3(x1)2 6=0．
金题精讲
题一：解下列方程．
(1)(x+2)(x2)=5；(2)x2 +6x+9=2；(3)x2 +2x+1=0；(4)4x2 12x+9=0．
第4讲 解一元二次方程——配方法
新知新讲
配方法：
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法．
题一：(1)x2+8x+___ __=(x+_____)2
(2)x2 10x+_____=(x _____)2
(3)x2 x+_____=(x _____)2
配方法的步骤：
(1)化二次项系数为
(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
(3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为 的形式
(4)用直接开方法求方程的解
题二：解下列方程．
(1)x2 2x2=0；(2)3x2 6x+4=0．
− −
− −
3
2
− −
2( ) ( 0)x m n n+ = ≥3
金题精讲
题一：解下列方程．
(1)2x2 +1=3x；(2)x(x+ 4)=8x+12．
第5讲 解一元二次方程——公式法（一）
新知新讲
题一：解方程：
2x2 x 1=0
金题精讲
题一：解下列方程.
(1)
(2)4x2 3x+2=0
第6讲 解一元二次方程——公式法（二）
新知新讲
题一：解方程：
金题精讲
题一：m 取什么值时，方程
有两个相等的实数解．
题二：关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范
围．
− −
2 12 02x x− + =
−
2 3 2 3x x+ =
( 2)(1 3 ) 6x x− − =
2 2(2 1) 4 0x m x m+ + + − =
2 2 1 0kx x+ − =4
题三：无论 p 为何值，方程 总有两个不相等的实数根？试证明？
第7讲 解一元二次方程——因式分解法（一）
新知新讲
因式分解法：
题一：解下列方程：
(1) ；(2) ．
金题精讲
题一：解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) ．
第8讲 解一元二次方程——因式分解法（二）
因式分解：一提，二套，三十字
题一：解下列方程：
(1)
(2)
新知新讲
十字相乘：
题一：解下列方程：
(1)x2 3x 4 0
(2)x2 7x 6 0
2( 3)( 2) 0x x p− − − =
( 2) 2 0x x x− + − = 2 21 35 2 24 4x x x x− − = − +
24 121 0x − = 3 (2 1) 4 2x x x+ = + 2 2( 4) (5 2 )x x− = −
2( 2) 2 4x x− = −
2 2 3 3x x− = −
2 ( ) ( )( )x a b x ab x a x b− + + = − −
− − =
− + =5
(3)x2 4x 5 0
金题精讲
题一：今年初，湖北武穴市发生禽流感， 某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建
一个面积为 150m2 的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长
am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为 35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中 a≥20m）
第9讲 一元二次方程综合
金题精讲
题一：若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 的值是________．
题二：解方程：
题三：若关于 x 的方程 有实根，则 a 的取值范围是什么？
第10讲 一元二次方程根与系数关系
金题精讲
题一：求方程 的两根的和与两根的积．
题二：已知方程 的一个根是 3，不解方程求这个方程的另一个根．
+ − =
( )2 3 1 0mm x x− + − =
2 2 3 0x x− − =
23 2 3( 1) 0ax a x a− − + =
22 4 3 0x x+ − =
22 5 3 0x x− − =6
题三：已知方程 的两根 x1，x2，利用根与系数的关系求
第11讲 一元二次方程根与系数
关系习题训练
金题精讲
题一：若关于 的方程 的两个根互为倒数，则 =______．
题二：已知 ， ，且 a≠b，求(a1)(b1)的值．
题三：关于 x 的方程 ，
当_______时，方程有两个正数根；
当_______时，方程有一个正根，一个负根；
当_______时，方程有一个根为 0．
第12讲 一元二次方程的应用（一）
金题精讲
题一：某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励
销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单
价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 550 个．
(1)设销售商一次订购量为 x 个，旅行包的实际出厂单价为 y 元，写出当一次订购量超过 100
个时，y 与 x 的函数关系式．
(2)求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润 6000 元？（售出一个旅行包的
利润=实际出厂单价成本）
23 5 8 0x x+ − =
1 2
1 1(1) x x
+
2 2
1 2(2)x x+
1 2(3)( 2)( 2)x x− −
2
1 2(4)( )x x−
x 2 2( 2) ( 2) 1 0m x m x− − − + = m
2 1a a= − 2 1b b= −
22 3 0x x m− + =7
第13讲 一元二次方程的应用（二）
金题精讲
题一：一辆汽车以 20m/s 的速度行驶， 司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行
25m 后停车．
(1)从刹车到停车用了多少时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间？
题二：一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，滚动 10m 后小球停下来．
(1)小球滚动了多少时间？
(2)平均每秒小球的运动速度减少多少？
(3)小球滚动到 5m 时约用了多少时间？
第14讲 一元二次方程的应用（三）
金题精讲
题一：一块长和宽分别为 40cm，28cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，
折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364cm2．求截去的小正方形的边长．
题二：某工厂一种产品 2014 年的产量是 100 万件，计划 2016 年产量达到 121 万件．假设
2014 年到 2016 年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求 2014 年到 2016 年这种产品产量的年增长率；
（2）2015 年这种产品的产量应达到多少万件？
题三：某项工作，甲、乙两组合作 8 天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙
组单独完成全部工作所需时间少 12 天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？8
讲义参考答案
第1讲 一元二次方程
新知新讲
题一：(2)，因为(1)(3)中的 x 只有一次项没有二次项．
题二：(1)6y2－y=0，二次项系数为 6，一次项系数为－1，常数项为 0；
或者－6y2+y=0，二次项系数为－6，一次项系数为 1，常数项为 0；
(2)x2+x－14=0，二次项系数为 1，一次项系数为 1，常数项为－14；
(3)2x2+x－16=0，二次项系数为 2，一次项系数为 1，常数项为－16．
金题精讲
题一：1．
题二：≠－8．
题三：当 m≠3 时，关于 x 的方程(m3)x2 +nx+m=0 为一元二次方程；
当 时，关于 x 的方程(m3)x2 +nx+m=0 为一元一次方程．
第2讲 一元二次方程的根
新知新讲
题一：3，2．
金题精讲
题 一 ： 13 ． 题 二 ： 4 ， 2 ． 题 三 ： (1) ， 8 ； (2) ， ；
(3) ， ．
题四：0．
第3讲 解一元二次方程——直接开方法
新知新讲
题一：(1) 4， 4；(2) ， ．
题二：(1) ， ；(2) ， ．
金题精讲
题一：(1) ， ；(2) ，
；(3) 1；(4) ．
第4讲 解一元二次方程——配方法
新知新讲
题一：(1)16，4；(2)25，5；(3) ， ．
题二：(1) ， ；
(2)方程无实数解．
金题精讲
3
0
m
n
=
≠
1 8x = 2x = 1
1
3x = 2
1
3x = −
1
1
2x = − 2
5
2x =
1x = − 2x = 1
5
2x = 2
5
2x = −
1 5x = 2 2x = − 1 2 1x = + 2 2 1x = − +
1 3x = − 2 3x = 1 2 3x = −
2 2 3x = − − 1 2x x= = 1 2x x= = 3
2
9
16
3
4
1x = 3 1+ 2 3 1x = − +9
题一：(1) 1， ；(2) 6， 2．
第5讲 解一元二次方程——公式法（一）
新知新讲
题一： 1， ．
金题精讲
题一：(1) ；(2)方程无解．
第6讲 解一元二次方程——公式法（二）
新知新讲
题 一： ；方程无实数根．
金题精讲
题一： ．
题二： 且 ．
题三：∵(x－3)(x－2)－p2=0，
∴x2－5x+6－p2 =0，
∴a=1，b=－5，c=6﹣p2，
∴△=25－4(6－p2)=1+4p2，
∵p2≥0，∴4p2≥0，∴1+4p2＞0，即△＞0，
∴无论 p 取何值，方程(x－3)(x－2)－p2=0 总有两个不相等的实数根．
第7讲 解一元二次方程——因式分解法（一）
新知新讲
题一 ：(1) ， ；(2) ， ．
金题精讲
题一：(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ．
第8讲 解一元二次方程——因式分解法（二）
题一：(1)x1=2，x2= ；(2)x1=x2= ．
新知新讲
题一：(1)x1= ，x2= ；(2)x1=1，x2=6；(3)x1=1，x2= ．
金题精讲
题一：长 15m，宽 10m 或长 20m，宽 7.5m．
第9讲 一元二次方程综合
金题精讲
题一：2．题二：3，1．题三： ．
第10讲 一元二次方程根与系数关系
金题精讲
1x = 2x = 1
2 1x = 2x =
1x = 2
1
2x = −
1 2
2
2x x= =
1 2 3x x= =
17
4
−
1k > − 0k ≠
1 1x = − 2 2x = 1
1
2x = 2
1
2x = −
1
11
2x = 2
11
2x = − 1
2
3x = 2
1
2x = − 1 1x = 2 3x =
4 3
1− 4 5−
1
2a ≤10
题一：2， ．题二： ．
题三：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
第11讲 一元二次方程根与系数关系习题训练
金题精讲
题一： ．题二：1．
题三： ； ； ．
第12讲 一元二次方程的应用（一）
金题精讲
题一：(1)y= 0.02x+62，(100< ≤550)；(2)500．
第13讲 一元二次方程的应用（二）
金题精讲
题一：(1)2.5s；(2)8m/s；(3) s．
题二：(1)4s；(2)1.25m/s；(3)( )s．
第14讲 一元二次方程的应用(三)
金题精讲
题一：7cm．题二：10%；110．题三：12，24
3
2
− 1
2
−
5
8
73
9
14
3
121
9
3−
90 8m< ≤ 0m < 0m =
− x
5 10
2
−
4 2 2−
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