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第 33 讲 正多边形与圆
题一： 已知正六边形的内切圆的半径是 ，则正六边形的边长为 .
题二： 边长为 a 的正六边形的内切圆与外接圆的半径的比为 .
题三： 如图五边形 ABCDE 内接于⊙O，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E．求证：五边形
ABCDE 是正五边形．
题 四： 如图，连接正五边形 ABCDE 各条对角线，就得到一个五角星图案.
(1)求五角星的各个顶角(如∠ADB)的度数；
(2)求证：五边形 MNLHK 是正五边形．
题五： 如图，已知正方形的边长是 4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
题六： 已知正方形 ABCD 的边心距 OE = cm，求这个正方形外接圆⊙O 的面积．
3
22
第 33 讲 正多边形与圆
题一： 2.
详解：如图，连接 OA、OB，OG，
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，设其边长为 a，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA = AB = a，
又∵OG 为正六边形的内 切圆的半径，
∴OG⊥AB，OG = ，AG = ，
在 Rt△OAG 中， ，解得 a = 2.
题二： .
详解：∵正六边形的外接圆的半径等于其边长，为 a，
正六边形的内切圆的半径等于其边心距，为 ，
∴正六边形的内切圆与外接圆的半径的比为 .
题三： 见详解．
详解：∵∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E，∠A 对着弧 BDE，∠B 对着弧 CDA，
∴弧 BDE = 弧 CDA，
∴弧 BDE－弧 CDE = 弧 CDA－弧 CDE，即弧 BC = 弧 AE，
∴BC = AE，
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
题四： (1)36°；(2)见详解．
详解：(1)∵五边形 ABCD E 是正五边形，
∴∠ABC = (5－2)×180°× = 108°，
∴∠ADB = 108°－ (180°－108°) ×2 = 36°；
(2)∵∠NBC = ∠NCB = ∠MBN = 36°，
∴∠KMN = ∠MNB+∠MBN = ∠NBC+∠NCB+∠MBN = 108°，
同理∠MNL = ∠NLH = ∠LHK = ∠HKM= 108°，
∴MN = NL = LH = HK = MK，
3 1
2 a
2 2 2 21 3( ) 32 2OG OA AG a a a= − = − = =
3 : 2
3
2 a
3 : 2
1
5
1
23
∴五边形 MNLHK 是正五边形．
题五： 4π cm2.
详解：如图，连接 OE、OA，设正方形外接圆、内切圆的半径分别为 R、r，
则 OA2－OE2 = AE2，即 R2－r2 = = 4 ，
则 S 圆环 = S 大圆 －S 小圆 = πR2－πr2 = π(R2－r2)，
∵R2－r2 = 4，
∴S = 4π (cm2)．
题六： 4π cm2．
详解：连接 OC、OD，∵圆 O 是正方形 ABCD 的外接圆，
∴O 是对角线 AC、BD 的交点，
∴∠ODE = ∠ADC = 45°，
∵OE⊥CD，
∴∠OED = 90°，
∴∠DOE = 180°－∠OED－ODE = 45°，
∴OE = DE = cm，
由勾股定理得 OD = = 2 cm，
∴这个正方形外接圆⊙O 的面积是 π•22 = 4π(cm2).
2
2
AB
1
2
2
2 2OE DE+
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