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第 32 讲 正多边形的外接圆
题一： 已知一个圆的半径为 5cm，则它的内接 正六边形的边长为 .
题二： 已知正六边形的面积为 3 ，则它的外接圆半径为 .
题三： 正六边形的边心距是 ，则它的边长是 .
题四： 如图，正六边形螺帽的边长是 2，这个扳手的开口 a 的值应是 ．
题 五： 如图，圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 P，则∠APB 的度数是 .
题六： 如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M，求证：
(1)AC∥DE；
(2)ME = AE．
3
32
第 32 讲 正多边形的外接圆
题一： 5cm.
详解：如图，连接 OA，OB，
∵六边形 ABCDEF是正六边形，∴∠AOB = ×360° = 60°，
又∵OA = OB，∴△OAB 是等边三角形，
∴AB = O A = OB = 5cm，即它的内接六边形的边长为 5 cm.
题二： ．
详解：如图，设正六边形外接圆的半径为 r，
∵正六边形的面积为 3 ，
∴S△AOF = ×3 = ，即 r•r•sin∠OFA = r2• = ，∴r = ．
故答案为 ．
题三： 2.
详解：如图，∵正六边形的边心距为 ，
∴OB = ，AB = OA，
∵OA2 = AB2+OB2，
∴OA2 = ( OA)2+( )2，解得 OA = 2，
则它的边长是 2.
1
6
2
3
1
6 3 3
2
1
2
1
2
3
2
3
2 2
2
3
3 1
2
1
2 33
题四： 2 ．
详解：连接 AC，过 B 作 BD⊥AC 于 D，
∵AB = BC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD = CD，
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC = ，
∴∠ABD = = 60°，
∴∠BAD = 30°，AD = AB•cos30° = 2× = ，
∴a = 2 ．
题五： 72°
详解：∵五边形 ABCDE 为正五边形，
∴AB = B C = CD，∠ABC = ∠BCD = 108°，
∴∠BAC = ∠BCA = ∠CBD = ∠BDC = = 3 6°，
∴∠APB = ∠DBC+∠ACB = 72°.
题六： 见详解.
详解：(1)∵五边形 ABCDE 是正五 边形，
∴ ∠ABC = ∠EAB = ∠DCB = ∠DEA = ，AB = BC，
∴∠CAB = ∠BCA = 36° ，
∴∠EAC = 108°－36° = 72°，
∴∠DEA+∠EAC = 108°+72° = 180°，
∴AC∥DE；
(2)∵五边形 ABCDE 是正五边形，
3
180 4 1206 =
°× °
120
2
°
3
2 3
3
180 108
2
°− °
(5 2) 180 1085
− × ° = °4
∴∠ABC = ∠EAB = ∠DCB = ∠DEA = ，AE = AB，
∴∠AEB = ∠ABE = 36°，
∵∠EAC = 72°，
∴∠EMA = 180°－36°－72° = 72°，
∴∠EAM = ∠EMA，
∴ME = AE．
(5 2) 180 1085
− × ° = °
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