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第 27 讲 切线性质定理的应用
题一： 如图，AB 是⊙O 的直径，AD、DC、BC 都是⊙O 的切线，切点分别是 A、E、B，若 DC = 9，AD
= 4，则 BC 的长为 ．
题二： 如图，AD、AE、BC 都是⊙O 的切线，切点分别为 D、E、F，若 AD = 6，则△ABC 的周长
为 ．
题三： 如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过 A 作
直线 EC 的垂线，垂足为 D．若 AB = 4，BE = 2，则 AD = .
题四： 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 是 AB 延长线上一点，CD 为半圆的切线，D 为切点，若∠A
= 30°，OA = 2，求 OC 的长．
题五： 如图，已知⊙O 的半径等于 5，圆心 O 到直线 a 的距离为 6，点 P 是直线上任意一点，过点
P 作⊙O 的切线 PA，切点为 A，则切线长 PA 的最小值为 .
题六： 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A(－3 ，0)，B(0，3 ) ，⊙O 的半径
为 1(O 为坐标原点)，点 P 在直线 AB 上，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最
小值为 .
2 2- 2 -
题七： 如图，PA 与⊙O 相切于点 A，OP 与⊙O 相交于点 B，点 C 是⊙O 上一点，
∠P = 22°，求∠ACB 度数．
题八： 如图，PA 与⊙O 相切，切点为 A，PO 交⊙O 于点 C，点 B 是⊙O 上一点(点 B 与点 A、C 不重
合)，若∠APC = 32°，求∠ABC 的度数．
题九： 如图，直线 AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G，且 AB∥CD，若 OB = 6，OC = 8，则 BE+CG
的长等于 .
题十： 如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O 分别相切于点 L、M、N、P．若四 边形 ABCD
的周长为 20，则 AB+CD 等于 .3
第 27 讲 切线性质定理的应用
题一： 5．
详解：∵AD、DC、BC 均为⊙O 的切线，
∴AD = ED，BC = CE，
∵DC = 9，AD = 4，
∴BC = CE = DC－DE = DC－AD = 9－4 = 5．
题二： 12．
详解：∵AD、AE、CB 均为⊙O 的切线，D、E、F 分别为切点，
∴CE = CF，BD = BF，AE = AD = 6，
∴△ABC 的周长为 AC+BC+AB = AC+CF+BF+AB = AC+CE+BD+AB = AE+AD = 12．
故答案为 12．
题三： 3．
详解：连接 OC，则 OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴ ，
∵AB = 4，BE = 2，
∴OC = 2，OE = 4，AE = 6，
∴ ，
∴AD = 3
故答案为 3．
题四： 4.
详解：如图，连接 OD，
∵CD 为半圆的切线，D 为切点，
∴OD⊥CD，即∠ODC = 90°，
又∵∠A = 30°，
∴∠DOC = 60°，
∴∠C = 30°，
∵OA = 2，
∴OD = 2，
∴OC = 4.
题五： .
OC OE
AD AE
=
2 4
6AD
=
114
详解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
当 OP⊥直线 a 时，AP 最小，
∵AP 与圆 O 相切，∴∠OAP = 90°，
∵OP⊥a，可得 OP = 6，
∴在 Rt△AOP 中，OA = 5，OP = 6，
∴根据 勾股定理得：AP = = ．
题六： 2 ．
详解：连接 OP、OQ．
∵PQ 是⊙O 的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知 PQ2 = OP2－OQ2，
∴当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短；
又∵A(－3 ，0)，B(0，3 )，
∴OA = OB = 3 ，
∴AB = = 6，
∴OP = AB = 3，
∴PQ = = 2 ．
故答案为 2 ．
题七： 34°．
详解：∵PA 是切线，
∴∠OAP = 90°，
2 2OP OA− 11
2
2 2
2
2 2OA OB+
1
2
2 2OP OQ− 2
25
∵∠P = 22°，
∴∠AOP = 180°－∠OAP－∠P = 68°，
∴∠ACB = ∠AOP = 34°．
题八： 29°或 151°.
详解：连接 OA，有两种情况(如图所示)：
①当点 B 在优弧 ABC 时 ，
∵PA 与⊙O 相切，
∴∠PAO = 90°
∴∠POA = 90°－∠APO = 90°－32° = 58°
∴在⊙O 中，
∠ABC = ∠POA = 29°
②当点 B 在劣弧 AC 上时，
∵四边形 ABCB′是⊙O 的内接四边形，
∴∠AB′C = 180°－∠ABC = 151°
∴∠ABC = 29°或 151°.
题九： 10．
详解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD = 180°，
∵CD、BC，AB 分别与⊙O 相切于 G、F、E，
∴∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠BCD，BE = BF，CG = CF，
∴∠OBC+∠OCB = 90°，
∴∠BOC = 90°，
∴BC = = 10，
∴BE+CG = 10．
题十： 10.
详解：∵AL = AP，BL = BM，DN = PD，CN = CM，
∴四边形 ABCD 的周长为 AL+AP+BL+BM+CM+CN+DN+DP，可化简为 2AB+2CD，
已知四边形的周长，可求出 AB+CD 的长，
根据圆外切四边形的两组对边和相等，得 AB+CD = = 10．
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2OB OC+
20
2
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