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第 15 讲 圆的定义及垂径定理
题一： 如图，一条赛道的急转弯处是一段 ，点 O 是这段弧所在圆的圆心，AC=10m，
B 是 上一点，OB⊥AC，垂足为 D，BD=1m，求这段弯路的半径．
题二： 如图，等腰△ABC 内接于半径为 5cm 的⊙O，AB＝AC，且 BC 是 BC 边上高的 6 倍，求 BC 的
长.
题三： 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位时下宽 AB=24m，水面到拱顶距离 CD=8m，
当洪水泛滥时，水面宽 MN=10m，求水 面到拱顶距离 DE．
题四： 如图为桥洞的形状，其正视图由 和矩形 ABCD 构成的，O 点为 所在⊙O 的圆心，点 O
又恰好在水面 AB 处，若桥洞跨度 CD 为 8 米，拱高 EF 为 2 米(OE⊥弦 CD 于点 F )．
(1)求 所在⊙O 的半径DO；
(2)若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽 6 米，露出水面 AB 的高度为 h 米，求船能通过桥洞
时的最大高度 h．
AC
AC
CD CD
CD2
第 15 讲 圆的定义及垂径定理
题一： 13m．
详 解：∵OB⊥AC，AC=10m，
∴AD= AC=5m，
设 OA=OB=r，∵BD=1m，
∴OD=OBBD= (r1)m，
在 Rt△AOD 中，∵AD2+OD2=OA2，∴52+(r1)2=r2，
解得：r=13(m)，
∴这段弯路的半径是 13m．
题二： 6 cm.
详解：连结 AO 交 BC 于 D，连结 BO，
由 AB＝AC 得 = ，
由垂径定理可得 AO 垂直平分 BC，
∵BC 是 BC 边上高的 6 倍， 设 AD＝ cm，则 B D＝ cm，
∴OD＝ cm，
在 Rt△BOD 中， ，解得 ， (舍去)，
∴BD＝3 cm，BC＝6 cm.
题三 ： 1m．
详解：设 OA=R，在 Rt△AOC 中，AC=12m，CD=8m，
∴R2=122+(R8)2= 144+R216R+64，
解得 R=13(m)，
连接 OM，设 DE=x(m)，在 Rt△MOE 中，
ME=5(m)，
∴132=52+(13 x)2，
解得 x1=1，x2=25（不合题意,舍去），
∴DE=1 m．
题四： (1)5 米，(2)4 米．
2
1
AB AC
x 3x
(5 )x−
2 2 25 (3 ) (5 )x x− = − 1 1x = 2 0x =3
详解：(1)∵OE⊥弦 CD 于点 F，CD 为 8 米，EF 为 2 米，
∴EO 垂直平分 CD，∴DF=4m，FO=(DO2) m，
在 Rt△DFO 中，DO2=FO2+DF2，
∴DO2=(DO2)2+4 2，
解得：DO=5m ，
∴ 所在⊙O 的半径 DO 为 5m；
(2)如图所示：假设矩形的船为矩形 MQRN，船沿以中点 O 为中心通过，连接 MO，
∵MN=6m，∴M Y=YN=3m，
在 Rt△MOY 中，MO2=YO2+MY2，
∴52=YO2+32，
解得：YO=4m，
∴船能通过桥洞时的最大高度为 4m．
CD
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