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第 10 讲 一元二次方程根与系数关系
题一： 求方程 的两根的和与两根的积．
题二： 求方程 的两根的和与两根的积．
题三： 已知方程 的一个根是 2，不解方程求这个方程的另一个根．
题四： 已知一元二次方程 有一根为 7，求这个方程的另一个根和 m 的值．
题五： 已知 x1、x2 是方程 的两个根，利用根与系数的关系求值：
(1)x1+x2；(2)x1x2；(3) ；(4)x12+x22．
题六： 设 x1，x2 是方程 的两个根，利用根与系数的关系求值：
(1)(x1+1)(x2+1)；(2)x12x2+x1x22；(3) ； (4)(x1x2)2．
2 3 2 0x x− + =
2 3 5 0x x+ − =
2 7 10 0x x− + =
2 7 0x mx+ + =
22 3 4 0x x+ − =
1 2
1 1
x x
+
22 4 3 0x x+ − =
2 1
1 2
x x
x x
+2
第 10 讲 一元二次方程根与系数关系
题一： 3，2．
详解：∵a=1，b= ，c=2，
∴△=(3)2 4×1 ×2=1 > 0，
设一元二次方程 的两根为 x1、x2，
根据韦达定理，得 ，故两根的和为 3，两根的积为 2．
题二： 3 ，5．
详解：∵a=1，b=3，c= ，
∴△=32 4×3×( )=69 > 0，
设一元二次方程 的两根为 x1、x2，
根据韦达定理，得 ，故 两根的和为3，两根的积为5．
题三： 5．
详解：设方程的另一个根为 x2，则根据题意，得
，解得 ，
所以这个方程的另一个根是 5．
题四： 1，8．
详解：设方程的另一个根为 x2，则根据题意， 得
，解得 ，
所以这个方程的另一个根是 1，m 的值是8．
题五： 见详解．
详解：由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得
(1)x1+x2= = ，
(2)x1x2= = = ，
(3) = = = ，
(4)x12+x2 2 = =(x1+x2)2 2x1x2= = ．
题六： 见详解．
详解：由题意，得 x1+x2= ，x1x2 = ，则
3−
−
2 3 2 0x x− + =
1 2
1 2
3
2
x x
x x
+ =
⋅ =
5−
− 5−
2 3 5 0x x+ − =
1 2
1 2
3
5
x x
x x
+ = −
⋅ = −
22 7x+ = 2 5x =
2
2
7
7 7
x m
x
+ = −
=
2 1
8
x
m
=
= −
b
a
− 3
2
−
c
a
4
2
− 2−
1 2
1 1
x x
+ 1 2
1 2
x x
x x
+
3
2
2
−
−
3
4
2 2
1 2 1 2 1 22 2x x x x x x+ + − − 9 ( 4)4
− − 25
4
2− 3
2
−3
(1)原式=x1x2+(x1+x2)+1= ；
(2)原式=x1x2(x1+x2)=3；
(3)原式= = = = ；
(4)原式=x12+x22 2x1x2=x 12+x22 2x1x2 4x1x2=(x1+x2)2 4x1x2=10．
5
2
−
2 2
1 2
1 2
x x
x x
+ 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2x x x x x x
x x
+ + − 2
1 2 1 2
1 2
( ) 2x x x x
x x
+ − 14
3
−
− + − −
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