1
第 15 讲 圆的定义及垂径定理
新知新讲
金题精讲
题 一 ： 如 图 , 一 条 公 路 的 转 弯 处 是 一 段 圆 弧 ( 即 图 中 ), 点 O 是 的 圆 心 , 其 中
CD=600m,E 为 上一点,且 OE⊥CD,垂足为 F,EF=90m,求这段弯路的半径．
题二：有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽 AB=60m,水面到拱顶距离
CD=18m,水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施(当水面离拱顶距离小于 3m 时, 需要采取紧
急措施)？请说明理由．
第 16 讲 垂径定理的应用
金题精讲
题一：如图,如果 AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB
垂足为 E,那么下列结论中,错误的是（ ）．
A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
CD CD
CD
BC BD=2
题二：如图,⊙O 的直径为 10,圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3,则弦 AB 的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D． 8
题三：如图,在⊙O 中,P 是弦 AB 的中点,CD 是过点 P 的直径,则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD
题四：如图,AB 为⊙O 直径,E 是 中点,OE 交 BC 于点 D,BD=3,AB=10,则 AC=_____．
题五：P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为 5cm,
则经过 P 点的最短弦长为________；最长
弦长为_______．
题六：如图,⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦 CD 长．
AD BD=
BC3
第 17 讲 弧、弦及圆心角的关系
新知新讲
例 1：如果两个圆心角相等,那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
金题精讲
题一：如图,⊙O 中,如果 =2 ,那么（ ）．
A．AB=AC B．AB=2AC
C．AB2AC
第 18 讲 圆心角的应用
金题精讲
题一：交通工具上的轮子都是做成圆的,这是运用了圆的性质中的_________．
题二：如图,以 ABCD 的顶点 A 为圆心,AB 为半径作圆,分别交 BC、AD 于 E、F,若∠D=50°,
求 的度数和 的度数．
题三：如图,∠AOB=90°,C、D 是弧 AB 三等分点,AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,求证：
AB AC
BE EF4
AE=BF=CD．
第 19 讲 圆周角
新知新讲
例 1：判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.
金题精讲
题一：如图,已知在⊙O 中,∠BOC =150°,求∠A
题二：已知一条弧所对的圆周角等于 50°,则这条弧所对的圆心角是多少度？5
第 20 讲 圆周角的应用
新知新讲
例 1：给你一把直尺和一把圆规,你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?
金题精讲
题一：在⊙O 中,∠AOB=84°,则弦 AB 所对的圆周角是___________．
A．42° B．138° C．84° D．42°或 138°
题二：如图,AC 是⊙O 的直径,AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB∥CD．如果∠BAC=32°,则∠
AOD=___________．
A．16° B．32° C．48° D．64°
第 21 讲 点与圆的位置关系
新知新讲
例 1：⊙O 的半径 10cm, A、B、C 三点到圆心的距离分别为 8cm、10cm、12cm, 则点 A、B、C
与⊙O 的位置关系是: 点 A 在__________；点 B 在__________；点 C 在__________.
例 2：已知 AB 为⊙O 的直径, P 为⊙O 上任意一点, 则点关于AB 的对称点 P’ 与⊙O 的位置
为( )
A 在⊙O 内 B 在⊙O 外
C 在⊙O 上 D 不能确定
金题精讲
题一：如图已知矩形 ABCD 的边 AB=3 厘米, AD=4 厘米
(1)以点 A 为圆心, 3 厘米为半径作圆 A, 则点 B、C、D 与圆 A 的位置关系如何？
(2)以点 A 为圆心, 4 厘米为半径作圆 A, 则点 B、C、D 与圆 A 的位置关系如何？
(3)以点 A 为圆心, 5 厘米为半径作圆 A, 则点 B、C、D 与圆 A 的位置关系如何？
题二：如图：在△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=3,BC=4, CM 是中线, 以 C 为圆心, 以 2.5 为半
径画圆, 则 A、B、C、M 四点, 圆上的点有____________, 圆外的点有____________,
圆内的点有____________.6
题三：爆破时, 导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm, 点导火索的人需要跑到离爆破点 120m 以外
的的安全区域, 已知这个导火索的长度为 18cm, 如果点导火索的人以每秒 6.5m 的速度撤离,
那么是否安全？为什么？
第 22 讲 确定圆的条件
金题精讲
题一：判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
题二：若一个三角形的外心在一边上, 则此三角形的形状为( )
A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 等腰三角形
第 23 讲 直线与圆的位置关系
新知新讲
例 1: 已知圆的直径等于 10 厘米, 圆心到直线 l 的距离为 d：
(1)当 d=4 厘米时, 有 d____r, 直线 l 和圆有____个公共点, 直线 l 与圆_______;
(2)当 d=5 厘米时, 有 d____r, 直线 l 和圆有____个公共点, 直线 l 与圆_______;
(3)当 d=6 厘米时, 有 d____r, 直线 l 和圆有____个公共点, 直线 l 与圆_______.
金题精讲
题一：Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=6cm, BC=8cm, 以 C 为圆心, r 为半径的圆与直线 AB 有何
位置关系？为什么？
①r=4cm
②r=4.8cm
③r=6cm
④与斜边 AB 只有一个公共点, 求 r 的取值范围.
第 24 讲 切线的判定定理
新知新讲
例 1:判断题
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）7
金题精讲
题一：已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C, 并且 OA=OB, CA=CB.
求证：直线 AB 是⊙O 的切线.
题二：已知: O 为∠BAC 平分线上一点, OD⊥AB 于 D,以 O 为圆心,OD 为半径作⊙O.
求证：⊙O 与 AC 相切.
第 25 讲 切线判定定理的应用
金题精讲
题一：如图, 已知⊙O 的半径 OA⊥OB, ∠OAC=30°, AC 交 OB 于 D, 交⊙O 于 C, E 为 OB 延长线
上一点, 且 CE=DE.
求证：CE 与⊙O 相切.8
题二：已知：如图 A 是⊙O 上一点,半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点, OC=BC, AC=
OB.
求证：AB 是⊙O 的切线.
题三：如图, AB 为⊙O 的直径, AC⊥直线 MN 于 C, BD⊥直线 MN 于点 D, 且 AC+BD=AB
求证：直线 MN 为⊙O 的切线
第 26 讲 切线的性质定理
金题精讲
题一：如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的切线, A 为切点, 连接 BC 交圆 O 于点 D, 连 接
AD, 若∠ABC=45°, 则下列结论正确的是( )
A、BC=2AD B、AC=2AD
C、AC＞AB D、AD＞DC
题二：如图, PA、PB 是⊙O 的切线, 切点分别为 A、B, 如果∠P=60°, 那么∠AOB 等于( )
A、60° B、90° C、120° D、150°
题三：如图, AB 为⊙O 的直径, PD 切⊙O 于点 C, 交 AB 的延长线于 D, 且 CO=CD, 则∠
PCA=( )
A、30° B、45° C、60° D、67.5°
1
29
题四：如图, AB 是⊙O 的直径, AC 与⊙O 相切, 切点为 A, D为⊙O 上一点, AD 与 OC 相交于
点 E, 且∠DAB=∠C.
求证：OC∥BD
第 27 讲 切线性质定理的应用
新知新讲
例 1：如图, AB、AC、BD 是⊙O 的切线, 切点分别为P、C、D, 如果AB=5, AC=3, 求BD 的长.
金题精讲
题一：如图, 已知 AB 是⊙O 的直径, C 是 AB 延长线上一点, BC=OB, CE 是⊙O 的切线, 切点
为 D, 过点 A 作 AE⊥CE, 垂足为 E, 则 CD:DE 的值是( )
A、 B、1 C、2 D、3
题二：已知⊙O 的半径为 1, 圆心 O 到直线 a 的距离为 2, 过 a 上任一点 A 作⊙O 的切线, 切
点为 B, 则线段 AB 的最小值为( )
1
210
A、1 B、 C、 D、2
题三：如图, PA 与⊙O 相切, 切点为 A, PO 交⊙O 于点 C, 点 B 是优弧 CBA 上一点, 若∠
ABC=32°, 则∠P 的度数为__________.
题四：如图, AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G, 且AB//CD, BO=6cm, CO=8cm, 求BC 的
长.
第 28 讲 三角形的内切圆
新知新讲
例 1：如图, Rt△ABC 中, ∠C=90°, AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b. 求△ABC 的内切圆半
径 r.
金题精讲
题一：如图, △ABC 中 O 是内心, ∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D.
求证：DO=DB
2 311
第 29 讲 圆与圆的位置关系
金题精讲
题一：⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3、5, 设 d=O1O2：
(1)当 d=9 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
(2)当 d=8 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
(3)当 d=5 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
(4)当 d=2 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
(5)当 d=1 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
(6)当 d=0 时, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是_________.
第 31 讲圆与圆的位置关系的应用
金题精讲
题一：在图中有两圆的多种位置关系, 请你找出还没有的位置关系是__________.
题二：若两圆没有公共点, 则两圆的位置关系
________.
题三：已知⊙O1、⊙O2 的半径分别为 4 和 6, 圆心距为 d
(1)若 d=12, 则⊙O1、⊙O2________；
(2)若⊙O1、⊙O2 相交, 则 d 的取值范围是______.
题四：如图, ⊙O 的半径为 5cm, 点 P 是⊙O 外一点, OP=8cm. 以 P 点为圆心作⊙P 与⊙O 相
切, 则⊙P 的半径是多少?
题五：两圆相切, 圆心距为 10cm, 其中一个圆的半径为 6cm, 则另一个圆的半径为_______.
题六：已知两圆的半径之比是 3:2, 两个圆内切时, 圆心距为 4, 则这两个圆外切时, 圆心距
是____．
第 30 讲 与圆有关的位置关系
金题精讲
题一：已知如图, △ABC 中, ∠C=90°, AC=12, BC=8,以 A C 为直径作⊙O, 以 B 为圆心, 4
为半径作⊙B.
求证：⊙O 与⊙B 相外切12
题二：如图, 直角梯形 ABCD 中, ∠A=∠B=90°, AD//BC, E 为 AB 上一点, DE 平分∠ADC, CE
平分∠BCD, 以 AB 为直径的圆与边 CD 有怎样的位置关系?
第 32 讲 正多边形的外接圆
新知新讲
例 1：已知正六边形 ABCDEF 的半径为 2cm, 求这个正六边形的边长、周长和面积.
金题精讲
题一：正六边形两条对边之间的距离是 2, 则它的边长是（ ）
题二：如图所示, 正五边形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M. 求证：ME=AB. 13
第 33 讲 正多边形与圆
新知新讲
例 1：已知正六边形边长为 a, 求它的内切圆的面积.
金题精讲
题一：如图,△AFG 中, AF=AG, ∠FAG=108°, 点 C、D 在 FG 上, 且 CF=CA, DG=DA, 过点 A、
C、D 的⊙O 分别交 AF、AG 于点 B、E.
求证：五边形 ABCDE 是正五边形.
题二：已知正方形的边长为 2cm, 求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积.
第 34 讲 弧长与扇形面积
新知新讲
例 1：制造弯形管道时, 要先按中心线计 算“展直长度”, 再下料, 试计算图所示管道的展
直长度 L(单位:mm)
例 2：已知扇形的圆心角为 120°,半径为 2, 则这个扇形的面积 S 扇形=____.
金题精讲
题一：(1)已知弧所对的圆心角为 90°, 半径是 4, 则弧长为____.
(2)已知一条弧的半径为 9, 弧长为 8π , 那么这条弧所对的圆心角为____.
题二：钟表的轴心到分针针端的长为 5cm, 那么经过 40 分钟, 分针针端转过的弧长是( ) 14
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
第 35 讲扇形的面积
金题精讲
题一：已知扇形面积为 , 圆心角为 60°, 则这个扇形的半径 R=____．
题二：已知半径为 2cm 的扇形, 其弧长为 cm,则这个扇形的面积是_________．
题三：如图, 这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案, 它是一扇形图形, 其中∠AOB 为
120°, OC 长为 8cm, CA 长为 12cm, 则贴纸部分的面积为（ ）
A．64π cm2 B．112π cm2
C．144π cm2 D．152π cm2
题四：已知等边三角形 ABC 的边长为 a, 分别以 A、B、C 为圆心, 以 为半径的圆相切于点
D、 E、F, 求图中红色部分的面积 S.
题五：如图, ⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离, 它们的半径都是 1, 顺次连接四个圆心得到四
边形 ABCD, 则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是_________.
10
3
π
20
3
π
25
3
π
50
3
π
1
3
π
4
3
π
2
a15
题六：如图, 方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小扇形的面积和为
________.（结果保留π）
第 36 讲 圆锥的侧面积
新知新讲
例 1：根据下列条件求值（其中 r、h、a 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）.
(1) h =3, r=4, 则 a =_______
(2) a = 2, r=1, 则 h =_______
(3) a= 10, h =8, 则 r =_______
例 2：已知圆锥的底面半径为 4, 母线长为 6, 则它的侧面积为_________.
金题精讲
题一：已知圆锥的底面直径为 20cm, 母线长为 12cm, 则它的侧面积为_________.
题二：已知圆锥底面圆的半径为 2cm, 高为 cm, 则这个圆锥的侧面积为_____.
题三：如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影, 则该圆锥的侧面积是_______.
第 37 讲 圆锥的侧面积与全面积
新知新讲
516
例 1：填空、根据下列条件求值 .
(1) a=2, r=1, 则 n=_______;
(2) a=9, r=3, 则 n=_______;
(3) n=90°, a=4, 则 r=_______;
(4) n=60°, r=3, 则 a=_______.
例 2：如图所示, 已知圆锥的母线长 AB=8cm, 轴截面的顶角为 60°,求圆锥全面积．
金题精讲
题一：如图, 扇形 AOB 是一个圆锥的侧面展开图, 已知∠ AOB=90°, OA=4cm, 则弧长
AB=_______cm, 圆锥的全面积 S=______cm2.
题二：已知在△ABC 中, AB=6, AC=8, ∠A=90°, 把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆
锥, 其表面积为 S1,把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥, 其表面积为 S2, 则
S1:S2 等于__________.
题三：圆锥的底面直径是 80cm, 母线长 90cm, 求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.
第 38 讲 与圆有关的计算
金题精讲
题一：⊙O 的半径为 10cm, 弦 AB//CD, AB=16 cm, CD=12 cm, 则 AB、CD 间的距离是
_________.
题二：如图, ⊙M 的半径为 2, 弦AB 长为 , 以AB 为直径作圆 O, 点C 在⊙M 的优弧上运
动, 且 AC 交圆 O 于 E, CB 交圆 O 于 D. 求∠C 的度数.
2 317
题三：如图, 把 Rt△ABC 的斜边放在直线 l 上, 按顺时针方向转动一次, 使它转到△A’BC’
的位置. 若 BC=1, ∠A=30°. 求点 A 运动到 A’位置时, 点 A 经过的路线长及扫过区域的面
积.18
第 15 讲 圆的定义及垂径定理
金题精讲
题一：这段弯路的半径为 545m 题二：不需采取紧急措施
第 16 讲 垂径定理的应用
金题精讲
题一：D 题二：D 题三：D 题四：8
题五：最短弦长为 8cm，最长弦长为 10cm
题六：
详解：过点 O 作 OM⊥CD，连结 O、C（如图所示）
∵AE=2,EB=6
∴AB=8, OC=OA= AB=4, OE=OA-AE=4-2=2
在直角△OME 中，∠DEB=30°,所以 OM=1
在直角△OMC 中，
∵根据垂径定理，可知
∴
第 17 讲 弧、弦及圆心角的关系
新知新讲
例 1：D
金题精讲
题一： C
第 18 讲 圆心角的应用
金题精讲
题一：圆上的点到圆心的距离是定值
题二：80°，50°
题三：连 接 AC，
∵ 在 ⊙O 中 ， 半 径 OA⊥OB，C、D 为 弧 AB 的 三 等 分 点 ，
又 ∵ 在 ⊙O 中 ，OA=OB，
∴ ∠OAB=∠ OBA=45°，
∵ ∠AOC=∠ BOD=30°，
2 15
1
2
2 2 15MC OC OM= − =
1
2MC DC=
2 15DC =
1 1 90 303 3AOC AOB∴∠ = ∠ = × ° = °19
（ ASA）
∴AE=BF
∵ ，
∴ ∠ACO=∠ AEC．
∴AC=AE
∴AE=BF=CD．
第 19 讲 圆周角
新知新讲
例 1：（3）是圆周角，其它都不是
金题精讲
题一：75° 题二：100°
第 20 讲 圆周角的应用
新知新讲
例 1：先用圆规画一个圆, 并找出其直径 AB. 在圆周上找任意异于 A、B 的两点 C、D, 连接
AC、BC、AD、BD.
金题精讲
题一：D 题二：D
第 21 讲 点与圆的位置关系
新知新讲
例 1：园内，圆上，圆外 例 2：C
金题精讲
题一：(1) B 在圆上，C、D 在圆外
(2) B 在圆内，C 在圆外，D 在圆上
(3) B、D 在圆内，C 在圆上
题二：圆上的点有 M，圆外的点有 A、B，圆内的点有 C.
题三：安全，原因如下：
导火索燃烧时间： ，
人能跑的最大距离：
，所以人是安全的.
第 22 讲 确定圆的条件
AOE BOF
AOE BOF
OA OB
OAE OBF
∆ ∆
∠ ∠
∠
∠
在 与 中，
＝
＝
＝
AOE BOF∆ ∆≅∴
45 30 75OEF OAB AOC∠ = ∠ + ∠ = ° + ° = °
180 30 752OCA
° − °∠ = = °
18 0.9 20s÷ =
6.5 20 130m× =
130m 120m>20
金题精讲
题一：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 题二：B
第 23 讲 直线与圆的位置关系
新知新讲
例 1：(1), 0, 相离.
金题精讲
题一：①相离 ②相切 ③相交 ④ 或 r=4.8cm
第 24 讲 切线的判 定定理
新知新讲
例 1：×，×，×．
金题精讲
题一：方法一：连结 OC，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴AB 是⊙O 的切线；
方法二：连结 OC，
∵ ，
∴O 一定在线段 AB 的垂直平分线上，
又∵ ，即 C 是 AB 的中点，C 也在 AB 的垂直平分线上，
∴OC 是 AB 的垂直平分线，
∴AB 是⊙O 的切线．
题二：方法一：过点 O 作 ，
∵AO 为∠BAC 的平分线，
又∵ 于点 D， 于点 M，
∴ ，
∴⊙O 与 AC 相切．
方法二：过点 O 作 ，
∵AO 为∠BAC 的平分线，
∴ ，
在△ 和△MAO 中：
∴△ ≌△ ，
6cm
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