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第 16 讲 垂径定理的应用
题一： 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，∠BCD=25°，则下列结论错误的是（ ）
A． = B．OE=DE C．∠AOD=50° D．D 是 的中点
题二： AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E(弦 CD 不是直径)，下列结论中错误的是（ ）
A．AC=AD B．BC=BD C．∠CAB=∠BCD D．AE=BE
题三： 如图：AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB=12cm，CD=8cm，那么 OE 的长为
_______．
题四： 如图 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB=26，AE=18，那么 S△BCD=____．
题五： 如图，已知⊙O 的直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，连接 BC、BD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD=∠DCO B．BC=BD C．∠BOC=2∠BCD D．CE=DE
AC BC AB- 2 -
题六： 如图，⊙O 的直径 AB 经过弦 CD 的中点 M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOC=2∠ABD B．AC=AD C．CM=DM D．A C=2BC
题七： 如图，AB 是⊙O 的直径，E 是弧 BC 的中点，OE 交 BC 于点 D，OD=3，DE=2，求 BC 和 AD 的
长．
题八： 如图，在⊙O 中，AB 为直径，点 C 在⊙O 上，连 接 A C，BC，D 是劣弧 AC 的中点，连接 OD，
交 AC 于点 E，连接 BD，若 AE=4，OE=3，则 BD 的长度为______．
题九： 点 P 是⊙O 内的一点，OP=8cm，圆的半径是 10cm．求过点 P 的最长弦和最短弦的长．
题十： 已知⊙O 的半径为 6cm，P 是⊙O 内一点，OP=2cm，那么过点 P 的最短的弦长
等于 cm，过点 P 的最长的弦长为 cm．
题十一： 如图，直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
则 CD 的长为 ．- 3 -
题十二： 如图，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=3cm，EB=7cm，∠DEB=45°，
求 CD 的长为 ．4
第 16 讲 垂径定理的应用
题一： B.
详解：∵CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，∴ = ，D 是 的中点，故 D 正确；
∵ = ， = ， = ，∴ = ，故 A 正确；
∵∠BCD=25°，∴∠AOD=2∠BCD=50°，故 C 正确；
但不能证得 B 一定成立，
故选 B．
题二： D．
详解：∵AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，
∴ ，∴BC=BD，∠CAB=∠BCD ， 故 B、C 选项正确，
∵ = , = , = ，∴ = ，∴AC=AD，故 A 选项正确，
∵弦 CD 不是直径，A E≠BE，故 D 选项错误．
题三： 2 cm．
详解：连接 OC．
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm，
又∵AB=12cm，
∴OC= AB=6cm，
在 Rt△OEC 中，
OE= = =2 cm，
故答案是：2 cm．
题四： 96．
详解：∵AB=26，∴OA=OB=OC= AB=13，
∵AE=18，∴OE=AEOA=5，∴BE=OBOE=8，
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，
∴∠OEC=90°，CE=DE，
在 Rt△OEC 中，
AD BD AB
AC DAC AD BC DBC BD DAC DBC AC BC
BC BD=
AC BCA BC AD BDA BD BCA BDA AC AD
5
2
1
2
1
22 CECO − 22 46 − 5
5
2
15
CE= = =12，
∴CD=2CE=24，
∴S△BCD= CD BE= ×24×8=96．
题五： A．
详解：∵⊙O 的直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，
∴AB⊥CD， ∴BC = BD，CE=DE ， = ，
∴∠BCD=∠BDC，∠BOC=2∠BDC，
∴∠BOC=2∠BCD ∴B、C、D 正确，
∵CD 不一定垂直平分 BO，∴ ∠BCD 不一定等于∠DCO，
∴A 不正确．
故选：A．
题六： D．
详解：∵⊙O 的直径 AB 经过弦 CD 的中点 M，
∴AB⊥CD， ∴CM=DM， = ，
∴ = ，∴AC=AD，∠AOC=2∠A BD，
∴A、B、C 正确，
∵AB 是⊙O 的直径 ，
∴∠ACB=90°，
∴在 Rt△ABC 中不能确定 AC 与 BC 的数量关系．
故选 D．
题七： 8，2 ．
详解：连接 AC，
∵OD=3，DE=2，
∴OE=OB=5，即⊙O 的半径为 5，
在 Rt△ODB 中，BD= =4，
∵OE⊥BC，
∴BC=2BD=8，DC=BD=4，
又∵BO=OA，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴AC=2OD=6，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠C=90°，
∴AD= =2 ．
22 OEOC − 22 513 −
2
1 •
2
1
BC BD
BC BD
AC AD
13
22 ODOB −
2 2AC CD+ 136
题八： 4 ．
详解：连接 AD，∵D 是劣弧 AC 的中点，∴OD⊥AC，
∵AE=4，∴AE=EC=4，AC=8，
∵O 为 AB 中点，E 为 AC 中点，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∵AB 为直径，∴ ACB= ADB=90°，
∴在 Rt△ACB 中，AB= = =10，
∴OD=5，DE=ODOE=53=2，
∴在 Rt△AED 中，AD2= = =20，
∴在 Rt△ADB 中，BD= = =4 ．
题九： 20 cm，12cm.
详解：过点 P 的最长弦就是直径：10×2=20(cm)，
最短弦就是垂直于 OP 的弦，
AP= = =6(cm)，
∴弦 AB=2AP=2×6=12(cm)．
题十： 8 ;12.
详解：如图， ∵OC=6cm，OP=2cm，∴由勾股定理得，CP=4 (cm)，
5
∠ ∠
22 BCAC + 22 68 +
22 EDAE + 22 24 +
22 ADAB − 20100 − 5
2 2OA OP− 2 210 8−
2
27
∴CD=8 (cm)，
∴过点 P 的最短的弦长等于 8 cm，
过点 P 的最长弦就是直径：6×2=12(cm).
题十一： 2 .
详解：过点 O 作 OF⊥CD 于 F，连接 OD，
∵AE=1cm，EB=5cm，
∴AB=AE+EB=1+5=6(cm)，
∴OA=OD=3cm，
∴OE=OAAE=31=2(cm)，
在 Rt△OEF 中，∠DEB=60°，∴∠EOF=30°，
∵OE=2cm，∴EF=1cm，
∴OF= = (cm)，
在 Rt△ODF 中，
DF= = = (cm)，
∵OF⊥CD，
∴CD=2DF=2× =2 (cm)．
题十二： 2 cm．
详解：作 OH⊥CD 于 H，连接 OD，
∵AE=3cm，BE=7cm，E 在直径 AB 上，
∴AB=3cm+7cm=10cm，∴OA=OD=5cm，
在 Rt△OHE 中，OE=5cm3cm=2cm，∠OEH=45°，
∴HE=OH= cm，
2
2
6
22 EFEO − 3
2 2OD OF− ( )223 3− 6
6 6
23
28
在 Rt△OHD 中，HD= = = ( cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2 cm．
22 OHOD − 22 )2(5 − 23
23
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