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第 25 讲 切线判定定理的应用
题一： 如图在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C 是⊙O 上的一点，连接 AC 交 OB 于点 D，P 是 OB 延长线上一
点，且满足 PD = PC，求证：PC 是⊙O 的切线．
题二： 已知：如图，在⊙O 中，OA 和 OB 是半径，且 AO⊥OB，弦 AC 交 OB 于 M，在 OB 的延长线上
取一点 D，使∠DCM = ∠DMC．求证：CD 是⊙O 的切线．
题三： 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，BD⊥CE，交直线 CE 于 D 点，如果∠1 =
∠2．求证：CE 为⊙O 的切线．
题四： 如图，点 B、C、D 都在半径为 6 的⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 的延长线于点 A，连接
CD，已知∠CDB = ∠OBD = 30°．求证：AC 是⊙O 的切线．
题五： 如图直角坐标系中，已知 A(－8，0)，B(0，6)，点 M 在线段 AB 上．如果点 M 是线段 AB 的
中点，且⊙M 的半径为 4，求证：直线 OB 是⊙M 的切线．- 2 -
题六： 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形．如图，若 AC 是⊙O 的直径，∠BAC = 60°，延长 BA 到
点 D，使得 D A = BA，过点 D 作直线 l⊥BD，垂足为点 D，作 OF⊥l 于 F，CE⊥l 于 E．求证：直线 l
为⊙O 的切线．
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第 25 讲 切线判定定理的应用
题一： 见详解．
详解：连接 OC，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB = 90° ，
∴∠ADO+∠OAD = 90°，
∵OA = OC，PD = PC，
∴∠OAD = ∠OCD，∠PCD = ∠PDC，
∵∠PDC = ∠ADO，
∴∠OCA+∠PCD = 90° ，
∴OC⊥PC，
∵OC 为⊙O 半径，
∴PC 是⊙O 的切线．
题二： 见详解．
详解：连接 OC，
∵AO⊥OB，
∴∠AOM = 90°，
∴∠OAM+∠OM A = 90°，
∵∠DCM = ∠DMC，∠DMC = ∠OMA，
又∵∠OAM = ∠OCM，
∴∠DCM+∠OCM = 90°，
∴OC⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线．
题三： 见详解．
详解：连接 OC，
∵OB = OC，
∴∠OCB = ∠1．
∵∠1 = ∠2，
∴∠OCB = ∠2，
∴OC∥BD．
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∴CE 为⊙O 的切线．4
题四： 见详解．
详解：连接 OC，交 BD 于 E，
∵∠CDB = 30°，
∴∠COB = 2∠CDB = 60°，
∵∠CDB = ∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四边形 ABDC 为平行四边形，
∴∠A = ∠D = 30°，
∴∠OCA = 180°－∠A－∠COB = 90°，即 OC⊥AC，
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线．
题五： 见详解．
详解：设线段 OB 的中点为 D，连结 MD．
∵点 M 是线段 AB 的中点，
∴MD∥AO，MD = AO = ×8 = 4 = 半径．
∴∠MDB = ∠AOB = 90°，
∴MD⊥OB，
∴直线 OB 是⊙M 的切线．
题六： 见详解．
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详解：∵OF⊥l，CE⊥l，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO = OC，
∴DF = FE，
∴OF = (AD+CE)，
设 AD = a，则 AB = 2AD = 2a，
∵AC 是直径，
∴∠ABC = 90°，
∵l⊥BD，
∴∠BDE = 90°，
∴∠ABC = ∠BDE = ∠CED = 90°，
∴四边形 BDEC 是矩形，
∴CE = BD = 3a，
∴OF = 2a，
∵在 Rt△AB C 中，∠ABC = 90°，∠BAC = 60°，AB = 2a，
∴AC = 4a，
∴OF = OA = 2a，
∴直线 l 是⊙O 切线．
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