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第 38 讲 与圆有关的计算
题一： 如果⊙O 半径为 5cm，弦 AB∥CD，且 AB = 8cm，CD = 6cm，那么 AB 与 CD 之间的距离是
cm．
题二： 已知在⊙O 中，半径等于 13，两条平行弦 AB、CD 的长度分别为 24 和 10，则 AB 与 CD 的距
离为 ．
题三： 如图，已知点 E 是圆 O 上的点，B、C分别是劣弧 的三等分点， ，则
的度数为 ．
题四： 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC = 42°，则∠A 的度数是 ．
题五： 如图，直角三角形 AB C 的斜边 AB 在直线 l 上，把△ABC 按顺时针方向在 l 上转动两次，使
它转到△A′′B′′C′′的位置，设 BC = 1，AC = ，则点 A 运动到点 A″的位置
时，点 A 两次运动所经过的路线长为 (计算结果不取近似值)．
题 六： 如图，把Rt△AB C 的斜边 AB 放在直线 L 上，按顺时针方向在 L 上转动两次，使它转到△DEF
的位置，设 BC = ，AC = 1，则点 A 运动到点 D 的位置时，点 A 经过的路线长是多少？点 A 经过的
路线与直线 L 所围成的面积是多少？
题七： 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以 AB 边所在的直线为轴，将△ABC
旋转一周，则所得几何体的表面积是 ．
AD 46BOC∠ = ° AED∠
3
3- 2 -
题八： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2cm，AB = cm，以直角边所在的直线为轴，将△ABC 旋转
一周，则所得的几何体的全面积是 cm2(结果保留 π).
5
23
第 38 讲 与圆有关的计算
题一： 1 或 7．
详解：①当弦 AB 和 CD 在 圆心同侧时，如图①，
过点 O 作 OF⊥CD，垂足为 F，交 AB 于点 E，连接 OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB = 8cm，CD = 6cm，
∴AE = 4cm，CF = 3cm，
∵OA = OC = 5cm，
∴EO = 3cm，OF = 4cm，
∴EF = OF－OE = 1cm；
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图②，
过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，反向延长 OE 交 AD 于点 F，连接 OA，OC ，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB = 8cm，CD = 6cm，
∴A E = 4cm，CF = 3cm，
∵OA = OC = 5cm，
∴EO = 3cm，OF = 4cm，
∴EF = OF+OE = 7cm．
题二： 7 或 17．
详解：分两种情况考虑：
(i)当弦 AB 与弦 CD 在圆心 O 同侧时，如图 1 所示，
过 O 作 OE⊥CD，与 AB 交于 F 点，由 AB∥CD，可得出 OF⊥AB，
连接 OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F 分别为 CD、AB 的中点，
∵AB = 24，CD = 10，
∴CE = DE = 5，AF = BF = 12，
又∵半径 OA = OC = 13，
∴在 Rt△AOF 中，根据勾股定理得 OF = = 5，2 2OA AF−4
在 Rt△COE 中，根据勾股定理得 OE = = 12，
则两弦间的距离 EF = OE－OF = 12－5 = 7；
(ii)当弦 AB 与弦 CD 在圆心 O 异侧时，如图 2 所示，
过 O 作 OE⊥CD，延长 EO，与 AB 交于 F 点，由 AB∥CD，可得出 OF⊥AB，
连接 OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F 分别为 CD、AB 的中点，
∵AB = 24，CD = 10，
∴CE = DE = 5，AF = BF = 12，
又∵半径 OA = OC = 13，
∴在 Rt△AOF 中，根据勾股定理得：OF = = 5，
在 Rt△COE 中，根据勾股定理得：OE = = 12，
则两弦间的距离 EF = OE+OF = 12+5 = 17，
综上，两条弦间的距离为 7 或 17．
题三： 69º．
详解：由 B、C 分别是劣弧 的三等 分点知，圆心角∠AOB = ∠BOC = ∠COD，
又因为 ，所以∠AOD = 138º，
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，从而有 ＝69º．
题四： 48°．
详解：连接 OC，
∵OB = OC，∠OBC = 42°，
∴∠OCB = ∠OBC = 42°，
∴∠BOC = 180°－∠OBC－∠OCB = 96°，
∴∠A = ∠BOC = 48°．
2 2OC CE−
2 2OA AF−
2 2OC CE−
AD
46BOC∠ = °
AED∠
1
25
题五： ．
详解：∵在 Rt△ABC 中，BC = 1，AC = ，∴AB = 2，∴AB = 2BC，
∴∠CAB = 30°，∠CBA = 60°，∴∠ABA′ = 120°，∠A″C″A′ = 90°，
∴点 A 两次运动所经过的路线 长为 ．
故答案为 ．
题六： 点 A 经过的路线长是 ，点 A 经过的路线与直线 L 所围成的面积是 ．
详解：在 Rt△ABC 中，∵BC = ，AC = 1，∴∠ABC = 30°，∴∠CBF = 150°，
∴点 A 经过的路线长= ，
点 A 经过的路线与直线 L 所围成的面积= ．
题七： 16.8π．
详解：∵Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，∴AB = 5，
∴AB 边上的高为 3×4÷5 = 2.4，
∴所得 几何体的表面积是 ×2π×2.4×3+ ×2π×2.4×4 = 16.8π．
故答案为 16.8π．
题八： 6π 或 9π．
详解：∵∠C = 90°，AC = 2cm，AB = cm，∴由勾股定理得 B C = 1.5cm，
(1)当以 AC 边所在的直线旋转一周时，形成的圆锥的底面半径为 1.5 cm，母线长为 cm，
此时圆锥的全面积为 πr2+πra = 2.25π+3.75π = 6π(cm2)；
(2)当以 BC 边所在的直线旋转一周时，形成的圆锥的底面半径为 2 cm，母线长为 cm，
此时圆锥的全面积为 πr2+πra = 4π+5π = 9π(cm2)．
4 3
3 2
π π+
3
120 2 90 3 4 3
180 180 3 2
π× π× π π+ = +
4 3
3 2
π π+
13
6
π 23
12
π
3
150 2 90 1 13
180 180 6
π× π× π+ =
150 4 90 1 23
360 360 12
π× π× π+ =
1
2
1
2
5
2
5
2
5
2
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