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三角形的内切圆
学习目标
1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同
2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。
3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经
验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。
学习过程
一、情境创设
试一试：
一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，
使它和已知三角形铁皮的各边都相切．
②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？
③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。
二、探求新知
⒈本课知识点：
⑴和三角形各边都相切的圆叫做_____， ______叫做三角形的内心，这个三角形叫做______．
⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．
小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；
②内心与外心类比：
名称 确定方法 图形 性质
外心
三角形三边中垂线的交
点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三角形的内部．2
IF
D CB
A
E
CA
B
内心
三角形三条角平分线的
交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
⒉例题学习
例 1、如图，△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相
切于点 D、E、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。
三.再攀高峰
探究活动一问题：如图，有一张三角形纸片，其中 BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°．今需在△ABC
中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可
能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？
探究活动二问题：如图 1，有一张四边形 ABCD 纸片，且 AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠
B=90°．
（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能
请你度量出圆的半径；
（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．
四、达标测试
1．如图 1，⊙O 内切于△ABC，切点为 D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结 OE，OF，
DE，DF，那么∠EDF 等于（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°3
图 1 图 2 图 3
2．如图 2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D，E，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
3．如图 3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ）
A．112.5° B．112° C．125° D．55°
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
6．如图，在△ABC 中，AB=AC，内切圆 O 与边 BC，AC，AB 分别切于 D，E，F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2 ，求 AC 的长．
7．如图，⊙I 切△ABC 的边分别为 D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M 是 上的动点（与
D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．
3
DEF4
五、非常演练
1．如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内
切圆中作内接正方形，依此作到第 n 个内切圆，它的半径是（ ）
A．（ ）nR B．（ ）nR C．（ ）n－1R D．（ ）
2．阅读材料：如图（1），△ABC 的周长为 L，内切圆 O 的半径为 r，连结 OA，
OB，△ABC 被划分为三个小三角形，用 S△ABC 表示△ABC 的面积．
∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA
又∵S△OAB = AB·r，S△OBC = BC·r，S△OCA = AC·r
∴S△ABC = AB·r+ BC·r+ CA·r
= L·r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为 5，12，13 的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为
S，各边长分别为 a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个 n 边形（n 为不小于 3 的整数）存在内切圆，且面积为 S，各边长
分别为 a1，a2，a3，…an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
六、课堂小结
通过本节课的学习，
你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________，
在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________，
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你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。
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