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一元二次方程根的判别式
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但
是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位。既可以根据它来判断一元二次方程
的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它
可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能
力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步
研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结
的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归
纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：
知识和技能：
1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；
2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；
过程和方法：
1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生
2 4b ac−
2 4b ac−2
的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”
的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了
学生学习数学的积极性。具体如下：
序号 教师 学生
1 设置悬念 引发兴趣 争先恐后，欲解疑团
2 设计练习，创设情境 动手解题，亲身感知
3 启发引导，发现结论 观察分析、得出结论
4 引导学生，理论验证 阅读理解，自学教材
5 揭示定理内涵 加深认识理解
6 应用定理，解决问题 巩固应用，形成技能
7 归纳小结 整体把握
8 布置作业 巩固提高
五、教学流程：
、设置悬念，引发兴趣：
【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝
活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大
致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
【学生】会争先恐后地编题考老师。
【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状
态。
设置练习，创设情境。
【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三
个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。
用公式法解一元二次方程（多媒体展示）
(注：找三名学生板演，其余学生在位上做)
【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。
【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”
( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 0 2 9 6 1 0 3 2 3 0x x x x x x+ + = − + = − + =3
为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。
启发引导，发现结论：
【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是
先确定了 A.B.c 的值，然后求出它的值—— ，为什么要这样做呢？
【学生】会初步说出 的作用是：它能决定方程是否可解。
【教师】（1）由此可见：在解 起着重
要的作用，显然我们可以根据 的值的符号来判断
的根的情况，因此，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，
即△= 。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情
况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。
（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？
【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。
【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白： 的值的符号在解一元二次方程中所起的重
要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与
概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。
引导学生，理论验证：
【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真阅读课本的内容，书上从理论方面给
我们做了很好的解释。
【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。
【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。
揭示定理：
【教师】（1）由此我们就得出了关于
若△＞0 则方程有两个不相等的实数根
若△ =0 则方程有两个相等的实数根
2 4b ac−
2 4b ac−
( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −一元二次方程 时，代数式
2 4b ac− ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠一元二次方程
2 4b ac−
2 4b ac−
( ) 2 24 4b ac b ac≠ − −2 注意：△ 而应为：△＝
2 4b ac−
( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠一元二次方程 的根的判别式定理：
( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −在一元二次方程 中，△＝4
若△＜0 则方程没有实数根
（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
若方程有两个不相等的实数根，则△＞0
若方程有两个相等的实数根， 则△=0
若方程没有实数根， 则△＜0
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字
母的取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到
理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。
应用定理，解决问题：
【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。
例 1：不解方程判别下列方程根的情况
分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，
（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符
号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。
例 2：求证关于 x 的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0 没有实数根。
分析：我先提出两个问题：
（1）是谁决定了方程有无实数根？
（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？
例 2 是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例 1 的第（4）的解法类似，
但学生易于出错，往往错用逆定理来证。
注意；例 1，例 2 之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的
一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。
小结：
( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −在一元二次方程 中，△＝
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 2 3 4 0 2 16 9 24
3 5 1 7 0 4 2 2 0
x x y y
x x x kx k
+ − = + =
+ − = + + =5
（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定 A.B.c 的值，计算△；
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。
③根据根的判别式定理，写出结论。
（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成
等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其
符号。
学生练习：
不解方程，判别下列方程根的情况
注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同
学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。
【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸
引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的
能力。
归纳小结
【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学
数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。
（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程
根的情况时，使用逆定理。
判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理
△＞0
△＝0
△＜0
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2 2 2a a a a a a− + − + + − +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 16 8 -3 2 9 6 1 0
3 2 9 8 0 4 7 18 0
x x x x
x x x x
+ = + + =
− + = − − =
( ) ( )2 25 2 1 2 1 0m x mx+ − + =
( ) ( )( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −3 一元二次方程 △＝
2
1 2
4
2
b b acx a
− ± −
、＝ ⇔△＞0 方程有两个
不相等的实数根
1 2
0
2 2
b bx a a
− ± −
、＝ ＝ ⇔△＝0 方程有
两个相等的实数根
2
1 24b ac x x− 无意义、 、 不存在 ⇔△＜0 方程没有实数根6
【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材
中的地位，能起到提纲挈领的作用。
布置作业：
1、P145 习题 4.5 第 1、2、3 题；
2、不解方程判定下列方程根的情况：
3、已知方程 没有实数根，求证 一定有两个不相等的实数根。
注 （第 3 题供学有余力的学生做）
【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学
有余力的学生留出自由的发展空间。
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
31 10 26 0 3 3 6 5 0 4 4 04
1 15 - 3 0 6 4 6 - 0 7 ( 4) 5 84 16
x x x x x x
x x x x x x x
+ + = + − = − + =
− = − = − = −
2 2 1 0x x n+ - + = 2 1 2x bnx n+ = -
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