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22．2 二次函数与一元二次方程
第 1 课时 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数根，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当__y＝0___
时，自变量 x 的值，它是二次函数的图象与 x 轴交点的__横坐标___．
2．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点个数与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式
的关系：当 b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴__无___交点；当 b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴
有__一个___交点；当 b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有__两个___交点．
知识点 1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线 y＝－3x2－x＋2 与坐标轴的交点个数是( A )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．如图，已知抛物线与 x 轴的一个交点 A(2，0)，对称轴是 x＝－1，则该抛物线与 x
轴的另一个交点的坐标是( C )
A．(－2，0) B．(－3，0)
C．(－4，0) D．(－5，0)
3．抛物线 y＝x2＋6x＋m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为__9___．
4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度 h(米)与前行距离 s(米)之间的关系
为 h＝
4
5s－
2
125s2，那么当足球落地时距离原来的位置有__50___米．
知识点 2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)一个解的
范围是( C )
x 2.23 2.24 2.25 2.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A.2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.25＜x＜2.26
6．用图象法求一元二次方程 2x2－4x－1＝0 的近似解．
解：设 y＝2x2－4x－1，画出图象(略)．由图象知，当 x≈2.2 或 x≈－0.2 时，y＝0，
即方程 2x2－4x－1＝0 的近似解为 x1≈2.2，x2≈－0.2
知识点 3：二次函数与不等式
7．二次函数 y＝x2－x－2 的图象如图所示，则函数值 y＜0 时 x 的取值范围是( C )
A．x＜－1 B．x＞2
C．－1＜x＜2 D．x＜－1 或 x＞22
,第 7 题图) ,第 8 题图)
8．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2＋bx＋c＜0 的
解集是( D )
A．－1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜－1 且 x＞5 D．x＜－1 或 x＞5
9．(2014·南京)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如
表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当 y＜5 时，x 的取值范围是__0＜x＜4___．3
10．已知函数 y＝x2＋2x－3，当 x＝m 时，y＜0，则 m 的值可能是( B )
A．－4 B．0 C．2 D．3
11．根据下列表格中的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)的根
的个数是( C )
x 5.17 5.18 5.19 5.20
ax2＋bx＋c 0.02 －0.01 0.02 0.04
A.0 B．1 C．2 D．1 或 2
12．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c－2＝0 的情况是
( C )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
13．抛物线 y＝2(x＋3)(x－2)与 x 轴的交点坐标分别为__(2，0)，(－3，0)___．
14．(1)用配方法把二次函数 y＝x2－4x＋3 化成 y＝(x－h)2＋k 的形式；
(2)在直角坐标系中画出 y＝x2－4x＋3 的图象；
(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数 y＝x2－4x＋3 图象上的两点，且 x1＜x2＜1，请比较
y1，y2 的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程 x2－4x＋3＝2 的根在函数 y＝x2－4x＋3 的图象上表示出来．
解：(1)y＝(x－2)2－1 (2)图象略 (3)y1＞y2
(4)该方程的根是二次函数图象在 y＝2 时对应点的横坐标
15．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根；
(2)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围；
(3)若方程 ax2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3
(2)x＞2
(3)k＜2
16．已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3(m 是常数)．4
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有
一个公共点？
解：(1)∵a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，又∵y＝x 2－2mx＋m2＋3＝(x－m) 2＋
3≥3，∴该函数的图象在 x 轴的上方，∴不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点 (2)
沿 y 轴向下平移 3 个单位长度
17．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)
两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2 是方程 x2＋4x－5＝0 的两根．
(1)若抛物线的顶点为 D，求 S△ABC∶S△ACD 的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
解：(1)解方程 x2＋4x－5＝0，得 x＝－5 或 x＝1，由于 x1＜x2，则有 x1＝－5，x2＝1，∴
A(－5，0)，B(1，0)．抛物线的解析式为 y＝a(x＋5)(x－1)(a＞0)，则 D(－2，－9a)，∴
C(0，－5a)．依题意画出图形(如图)，则 OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点 D 作 DE⊥y
轴于点 E，则 DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a.S △ACD＝S 梯形 ADEO－S△CDE－S△AOC＝
1
2×(2＋
5)·9a－
1
2×2×4a－
1
2×5×5a＝15a，而 S△ABC＝
1
2×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝15a∶15a
＝1∶1 (2)在 Rt△DCE 中，CD2＝DE2＋CE2＝4＋16a2，在 Rt△AOC 中，AC2＝OA2＋OC2＝25＋
25a2，设对称轴 x＝－2 与 x 轴交于点 F，则 AF＝3，在 Rt△ADF 中，AD2＝AF2＋DF2＝9＋
81a2.∵∠ADC＝90°，∴△ACD 为直角三角形，∴AD2＋CD2＝AC2，即(9＋81a2)＋(4＋16a2)＝
25＋25a2，化简得 a2＝
1
6，∵a＞0，∴a＝
6
6 ，∴抛物线的解析式为 y＝
6
6 x2＋
2 6
3 x－
5 6
6
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