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专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用
一、一元二次方程的解法
1．用直接开平方法解方程：
(1)(4x－1)2＝225；
解：x1＝4，x2＝－
7
2
(2)
1
3(x－2)2＝8；
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
(3)9x2－6x＋1＝9；
解：x1＝
4
3，x2＝－
2
3
(4)3(2x＋1)2－2＝0.
解：x1＝－
1
2＋
6
6 ，x2＝－
1
2－
6
6
2．用配方法解方程：
(1)2t2－3t＝－1；
解：t1＝
1
2，t2＝1
(2)2x2＋5x－1＝0；
解：x1＝
－5＋ 33
4 ，x2＝
－5－ 33
4
(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；
解：x1＝
1
2，x2＝－
2
3
(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解：x1＝4，x2＝2
3．用公式法解方程：
(1)x2＝6x＋1;
解：x1＝3＋ 10，x2＝3－ 10 2
(2)0.2x2－0.1＝0.4x；
解：x1＝
2＋ 6
2 ，x2＝
2－ 6
2
(3) 2x－2＝2x2.
解：原方程无实数根
4．用因式分解法解方程：
(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；
解：x1＝3，x2＝1
(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；
解：x1＝3，x2＝
1
4
(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
5．用适当的方法解方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
解：x1＝3，x2＝9
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
解：x1＝
－1＋ 6
2 ，x2＝
－1－ 6
2
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
解：x1＝1，x2＝－3
二、配方法的应用
(一)最大(小)值
6．利用配方法证明：无论 x 取何实数值，代数式－x2－x－1 的值总是负数，并求出它
的最大值．3
解：－x2－x－1＝－(x＋
1
2)2－
3
4，∵－(x＋
1
2)2≤0，∴－(x＋
1
2)2－
3
4＜0，故结论成
立．当 x＝－
1
2时，－x2－x－1 有最大值－
3
4
7．对关于 x 的二次三项式 x2＋4x＋9 进行配方得 x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.
(1)求 m，n 的值；
(2)求 x 为何值时，x2＋4x＋9 有最小值，并求出最小值为多少？
解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝
5
(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当 x＝－2 时，有最小值是 5
(二)非负数的和为 0
8．已知 a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求 3a2＋5b2－5 的值．
解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝
0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12
9．若 a，b，c 是△ABC 的三边长且满足 a2－6a＋b2－8b＋ c－5＋25＝0，请根据已知
条件判断其形状．
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝
0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，
即 a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形
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