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第 2 课时 二次函数与商品利润
1．单件利润＝__售价－成本___；
总利润＝__销售量×单件利润___．
2．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品
售价为 x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱 y 元与售价 x 元之间的函数关系
为( B )
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
知识点：销售中的最大利润
1．“佳宝”牌电缆的日销量 y(米)与销售价格 x(元/米)之间的关系是 y＝－50x＋6000，
则日销售额 w(元)与销售价格 x(元/米)之间的函数关系是__w＝－50x2＋6000x___．
2．某电脑店销售某种品牌电脑，所获利润 y(元)与所销售电脑台数 x(台)之间的函数关
系满足 y＝－x2＋120x－1200，则当卖出电脑__60___台时，可获得最大利润为__2400___
元．
3．出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出(8－x)个，则当 x＝__4___元时，
一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大．
4．若一种服装销售盈利 y(万元)与销售数量 x(万件)满足函数关系式 y＝－2x2＋4x＋5，
则盈利( B )
A．最大值为 5 万元
B．最大值为 7 万元
C．最小值为 5 万元
D．最大值为 6 万元
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润 y(元)与降价金额 x(元)之间的关系
是 y＝－2x2＋60x＋800，则获利最多为( D )
A．15 元 B．400 元 C．80 元 D．1250 元
6．喜迎国庆，某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，售价为 60 元/件，每星期可卖
出 200 件，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每星期就会少卖出 10 件．设每件商品的售价
上涨 x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系为( A )
A．y＝－10x2＋100x＋2000
B．y＝10x2＋100x＋2000
C．y＝－10x2＋200x
D．y＝－10x2－100x＋2000
7．某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可卖出 80
件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件．
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是
多少？
解：(1)(130－100)×80＝2400(元)
(2)设应将售价定为 x 元，则销售利润 y＝(x－100)(80＋
130－x
5 ×20)＝－4x2＋1000x
－60000＝－4(x－125)2＋2500，当 x＝125 时，y 有最大值 2500，∴将售价定为 125 元，销
售利润最大，最大销售利润是 2500 元
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8．某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，床位可全部租出．若每床每晚收费提
高 2 元，则减少 10 张床位的租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租
出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C )
A．4 元或 6 元 B．4 元 C．6 元 D．8 元
9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润 y(单
位：万元)与销售量 x(单位：辆)之间分别满足 y 甲＝－x2＋10x，y 乙＝2x，若该公司在甲、
乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为__46___万元．
10．某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，
且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y＝kx＋b，
且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1)求一次函数 y＝kx＋b 的解析式；
(2)若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定
为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(1)y＝－x＋120
(2)W＝(x－60)·(－x＋120)＝－x 2＋180x－7200＝－(x－90) 2＋900，∵60×(1＋45%)
＝87，∴60≤x≤87.∵抛物线的开口向下，∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大，∴当 x＝87
时，W 取得最大值，且 W 最大＝－(87－90)2＋900＝891，∴当销售单价定为 87 元时，商场可
获得最大利润，且最大利润是 891 元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x(单位：分)之间
满足函数关系 y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y 值越大，表示接受能力越强．
(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步
降低？
(2)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解：(1)由 y＝－0.1x2＋2.6x＋43，得 y＝－0.1(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，根据二次
函数的性质可知，当 0≤x＜13 时，学生的接受能力逐步增强；当 13≤x≤30 时，学生的接
受能力逐步降低 (2)由此函数的二次项系数为－0.1＜0 知，抛物线开口向下，y 有最大值，
所以当 x＝13，即第 13 分钟时，学生的接受能力最强
12．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按
成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照
相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出
厂价为每件 12 元，每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系近似满足一次函数 y＝－
10x＋500.
(1)李明在开始创业的第 1 个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差
价为多少元？
(2)设李明获得的利润为 w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元．如果李明想要每月获得利润
不低于 3000 元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
解：(1)当 x＝20 时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承担的总差价为 300×(12
－10)＝600(元)
(2)依题意，得 w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000.∵a＝－10＜0，∴当 x
＝30 时，w 有最大值 4000.即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元 (3)4
由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得 x1＝20，x2＝40，结合图象可知，当20≤x≤40
时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为 P
元，∴P＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P 随着 x 的增大而减小，∴当
x＝25 时，P 有最小值 500.即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为
500 元
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