1
第 3 课时 切线长定理
1．经过__圆外___一点作圆的切线，这点与切点之间__线段___的长，叫做这点到圆的
切线长．
2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的__两___条切线，它们的切线长__相等___，
这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角．
3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内___心，
它是三角形__三条角平分线___的交点．
知识点 1：切线长定理
1．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠APB＝60
°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
,第 1 题图) ,第 2 题图)
2．如图，半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA，CB 分别切于 D，E 两点，直径 FG 在 AB 上，
若 BG＝ 2－1，则△ABC 的周长为( A )
A．4＋2 2 B．6
C．2＋2 2 D．4
3．(2014·天水)如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，点 C 在⊙O 上，且∠ACB＝50°，
则∠P＝__80°___．
4．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB 的度数；
(2)当 OA＝3 时，求 AP 的长．
解：(1)∠APB＝60°
(2)AP＝3 3
知识点 2：三角形的内切圆
5．如图，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A )
A．130° B．120° C．100° D．90°
6．已知△ABC 的周长为 24，若△ABC 的内切圆半径为 2，则△ABC 的面积为__24___．
7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC 的内切圆的半径为__2___．
8．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB＝18 cm，BC
＝28 cm，CA＝26 cm，求 AF，BD，CE 的长．
解：根据切线长定理得 AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设 AE＝AF＝ x cm，则 CE＝CD＝(26－
x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得 x＝8，∴AF＝
8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm
23
9．正三角形的内切圆半径为 1，那么三角形的边长为( B )
A．2 B．2 3 C. 3 D．3
10．如图，AB，AC 与⊙O 相切于点 B，C，∠A＝50°，点 P 是圆上异于 B，C 的一动点，
则∠BPC 的度数是( C )
A．65° B．115°
C．65°或 115° D．130°或 50°
,第 10 题图) ,第 11 题图)
11．(2014·泰安)如图，P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为
C，点 D 是⊙O 上一点，连接 PD.已知 PC＝PD＝BC.下列结论：
(1)PD 与⊙O 相切；(2)四边形 PCBD 是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.
其中正确的个数为( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，已知 PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，点 C 在⊙O 上，∠BCA＝65°，则∠P＝__50
°___．
,第 12 题图) ,第 13 题图)
13．如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA，PB 于点 E，F，
切点 C 在AB︵
上，若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是__4___．
14．如图，点 I 为△ABC 的内心，点 O 为△ABC 的外心，若∠BOC＝140°，求∠BIC 的
度数．
解：∵点 O 为△ABC 的外心，∠BOC＝140°，∴∠A＝70°.又∵点 I 为△ABC 的内心，∴∠
BIC＝180°－
1
2(180°－∠A)＝90°＋
1
2∠A＝125°
15．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC，PB 的延长线相
交于点 D.
(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；
(2)当∠1 为多少度时，OP＝OD？并说明理由．
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°.又∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴
PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝70°，∴∠APB＝180°－70°×2＝40° (2)当∠1＝30°时，OP
＝OD.理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－60°×2＝60
°.∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB＝
1
2∠APB＝30°.又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝
30°，∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD
16．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点 E，交 AM 于点
D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF.
(1)求证：OD∥BE；
(2)猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由．4
解：(1)连接 OE，∵AM，DE 是⊙O 的切线，OA，OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO＝∠EDO，∠
DAO＝∠DEO＝90°，∴∠AOD＝∠EOD＝
1
2∠AOE.∵∠ABE＝∠OEB，∠ABE＋∠OEB＝∠AOE，∴∠
ABE＝
1
2∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE
(2)OF＝
1
2CD，理由：连接 OC，∵BC，CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB＝∠OCE.同理：∠ADO＝∠
EDO.∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°，∴∠EDO＋∠OCE＝90°，∴∠DOC
＝90°.在 Rt△DOC 中，∵F 是 DC 的中点，∴OF＝
1
2CD
微信/支付宝扫码支付