1
24．4 弧长和扇形面积
第 1 课时 弧长和扇形面积
1．在半径为 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长是圆周长 C＝__2πR___，所以 n
°的圆心角所对的弧长为 l＝__
nπR
180 ___．
2．在半径为 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积 S＝__π
R2___，所以圆心角为 n°的扇形面积是 S 扇形＝__
nπR2
360 ___．
3．用弧长表示扇形面积为__
1
2lR___，其中 l 为扇形弧长，R 为半径．
知识点 1：弧长公式及应用
1．点 A，B，C 是半径为 15 cm 的圆上三点，∠BAC＝36°，则弧 BC 的长为__6π___cm.
2．扇形的半径是 9 cm，弧长是 3π cm，则此扇形的圆心角为__60___度．
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于
π
2 ，则该扇形的半径是__2___．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC 绕直
角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点 B 转过的路径长为( B )
A.
π
3 B.
3π
3 C.
2π
3 D．π
5．如图，⊙O 的半径为 6 cm，直线 AB 是⊙O 的切线，切点为点 B，弦 BC∥AO.若∠A＝
30°，求劣弧BC︵
的长．
解：连接 OB，OC.∵AB 是⊙O 的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥
AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴劣弧
BC︵
的长为
60 × π × 6
180 ＝2π(cm)
知识点 2：扇形的面积公式及应用
6．钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是( A )
A.
1
2π B.
1
4π C.
1
8π D．π
7．(2014·成都)在圆心角为 120°的扇形 AOB 中，半径 OA＝6 cm，则扇形 AOB 的面积
是( C )
A．6π cm2 B．8π cm2
C．12π cm2 D．24π cm2
8．如图，已知扇形的圆心角为 60°，半径为 3，则图中弓形的面积为( C )
A.
4π－3 3
4 B.
π－ 3
4
C.
2π－3 3
4 D.
π－3 3
2
,第 8 题图) ,第 9 题图)
9．如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格(每个小正方形的边长均为 1 个单位长度)
的格点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得到△A′BC′，且点 A′，C′仍落在格点上，则图
中阴影部分的面积约是__7.2___．(π≈3.14，结果精确到 0.1)
10．如图，△OAB 中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB 与⊙O 相切于点 C，求图中阴影部分2
的面积．(结果保留π)
解：连接 OC，可求∠AOB＝120°，OC＝2，AC＝2 3，∴S 阴影＝S△AOB－S 扇形＝2×
1
2×2×2
3－
120
360×π×22＝4 3－
4
3π
3
11．如图，某厂生产横截面直径为 7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐
头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90°，则“蘑菇罐
头”字样的长度为( B )
A.
π
4 cm B.
7π
4 cm C.
7π
2 cm D．7π cm
,第 11 题图) ,第 12 题图)
12．如图，扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB＝90°，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部
分的面积为( C )
A.
1
4π B．π－
1
2
C.
1
2 D.
1
4π＋
1
2
13．(2014·南充)如图，矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝12，将矩形 ABCD 按如图所示的方
式在直线 l 上进行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( A )
A.
25
2 π B．13π C．25π D．25 2
,第 13 题图) ,第 14 题图)
14．如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ABC＝120
°，OC＝3，则BC︵
的长为__2π___．
15．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3 cm，B，C 两点在扇形 AEF 的EF︵
上，求BC︵
的长度及
扇形 ABC 的面积．
解：∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.又∵B，C 两点在扇形 AEF 的
EF︵
上，∴AB＝BC＝AC＝3 cm，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，BC︵
的长 l＝
60π × 3
180
＝π(cm)，S 扇形 ABC＝
1
2lR＝
1
2×π×3＝
3
2π(cm2)
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使
∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A
＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线 (2)
当∠A＝60°时，在 Rt△OCD 中，有∠C＝30°，OD＝r＝2，∴∠DOC＝60°，CD＝2 3，S△
ODC＝
1
2OD·DC＝2 3，S 扇形＝
60πr2
360 ＝
2
3π，∴S 阴影＝S△ODC－S 扇形＝2 3－
2
3π
17．如图，在正方形 ABCD 中，AD＝2，E 是 AB 的中点，将△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°
后，点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处，点 C 落在点 A 处．再将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°
得线段 FG，连接 EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；4
(2)求点 C，A 在旋转过程中形成的AC︵
，AG︵
与线段 CG 所围成的阴影部分的面积．
解：(1)在正方形 ABCD 中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC 绕点 B 逆时针旋转
90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB
＋∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90
°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是
平行四边形，∴EF∥CG (2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝
1
2AB＝
1
2×2＝1，∴AF＝
AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝
S 扇 形 BAC ＋ S △ ABF ＋ S △ FGC － S 扇 形 FAG ＝
90 × π × 22
360 ＋
1
2×2×1 ＋
1
2×(1 ＋ 2)×1 －
90 × π × （ 5）2
360 ＝
5
2－
π
4
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