1
第 3 课时 拱桥问题与运动中的抛物线
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的__平面直角坐标系___；
(2)把已知条件转化为__点的坐标___；
(3)合理设出函数__解析式___；
(4)利用__待定系数___法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
知识点 1：二次函数在桥梁中的应用
1．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米．在如图
所示的直角坐标系中，该抛物线的解析式为__y＝－
1
25x2___．
,第 1 题图) ,第 2 题图)
2．有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16 m，跨度为 40 m，现把它的
图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心 M 点 5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根
铁柱的长为__15___m.
3．如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A，B 两点，拱桥最
高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为拱桥底部的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB
的距离为 7 m，则 DE 的长为__48___m.
知识点 2：二次函数在隧道中的应用
4．某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的
顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为__y＝－
1
3
x2___．
知识点 3：二次函数在其他建筑问题中的应用
5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽 4 米，顶部距地面的高度
为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4 米，该车要想通过此门，
装货后的高度应小于( B )
A．2.80 米 B．2.816 米
C．2.82 米 D．2.826 米
,第 5 题图) ,第 6 题图)2
6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽 AB
为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m．建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式
为__y＝－0.2x2___．
知识点 4：二次函数在运动中的应用
7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建
立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水
喷出的最大高度是( A )
A．4 米 B．3 米
C．2 米 D．1 米
8．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行
时间 x(s)的关系满足 y＝－
1
5x2＋10x.经过__25___秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是
__125___米，经过__50___秒炮弹落到地上爆炸了．3
9．竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间 t(s)的函数解析式为 h＝at2＋bt，
其图象如图所示．若小球在发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度
最高的是( C )
A．第 3 秒 B．第 3.5 秒
C．第 4.2 秒 D．第 6.5 秒
,第 9 题图) ,第 10 题图)
10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在 AB 位置时，拱顶离水面 2 m，水面宽为 4
m，水面下降 1 m 后，水面宽为( D )
A．5 m B．6 m C. 6 m D．2 6 m
11．某一型号飞机着陆后滑行的距离 y(m)与滑行时间 x(s)之间的函数关系式是 y＝60x
－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__600___m 才能停下来．
12．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其
身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－
3
5x2＋3x＋1 的一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高 BC＝3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这
次表演是否成功？请说明理由．
解：(1)配方得 y＝－
3
5(x－
5
2)2＋
19
4 ，当 x＝
5
2时，y 有最大值
19
4 ，∴演员弹跳离地面的
最大高度是 4.75 米 (2)能表演成功．理由：把 x＝4 代入抛物线解析式得 y＝3.4，即点
B(4，3.4)在抛物线 y＝－
3
5x2＋3x＋1 上，∴能表演成功
13．如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形
的三边 AE，ED，DB 组成．已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8 米，抛物线的顶点 C
到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标
系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h(单位：米)随时间 t(单位：
时)的变化满足函数关系 h＝－
1
128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点 C 的距离不大
于 5 米时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？4
解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋11，由题意得 B(8，8)，∴64a＋11＝8，解得 a＝－
3
64，∴y＝－
3
64x2＋11
(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED 的距离 h 至多为 6 米，∴6＝－
1
128(t－19)2＋8，解得 t1＝35，t2＝3，∴35－3＝32(小时)，则需 32 小时禁止船只通行
14．如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球
看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已知球网
与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m.
(1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)
(2) 当 h＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)，∴
2＝a(0－6)2＋2.6，解得 a＝－
1
60.故 y 与 x 的关系式为 y＝－
1
60(x－6)2＋2.6
(2)当 x＝9 时，y＝－
1
60(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网；当 y＝0 时，－
1
60(x－6)2＋2.6＝0，解得 x1＝6＋2 39，x2＝6－2 39(舍去)，因为 6＋2 39＞18，所以
球会出界
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