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24．3 正多边形和圆
1．各边__相等___，各角也__相等___的多边形是正多边形．
2．正多边形外接圆的圆心叫这个正多边形的__中心___，外接圆的__半径___叫做这个
正多边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的__中心角___，中心到正
多边形的一边的__距离___叫做正多边形__边心距___．
3．正多边形都是轴对称图形，但不一定是__中心___对称图形．
知识点 1：认识正多边形
1．一个正多边形的每个外角都等于 36°，那么它是( C )
A．正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( C )
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四
边形．
A．3 个 B．4 个
C．5 个 D．6 个
3．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝__30°___．
知识点 2：与正多边形有关的计算
4．(2014·天津)正六边形的边心距为 3，则该正六边形的边长是( B )
A. 3 B．2
C．3 D．2 3
5．(2014·呼和浩特)已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为( C )
A．3 3 B．3 6
C.
3
2 3 D.
3
2 6
6．若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( B )
A．6，3 2 B．3 2，3
C．6，3 D．6 2，3 2
7．如图，⊙O 与正六边形 OABCDE 的边 OA，OE 分别交于点 F，G，则FG︵
所对的圆周角∠FPG
的大小为__60___度．
,第 7 题图) ,第 8 题图)
8．将一个边长为 1 的正八边形补成如图所示的正方形，则这个正方形的边长等于__1＋
2___．(结果保留根号)
9．已知圆外切正四边形的边长为 6，求该圆的内接正三角形的边心距．
解：
3
2 2
10．正三角形内切圆半径 r 与外接圆半径 R 之间的关系为( D )
A．4R＝5r B．3R＝4r
C．2R＝3r D．R＝2r
11．如图，在⊙O 中，OA＝AB，OC⊥AB 交⊙O 于点 C，则下列结论错误的是( D )
A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长
C.AC︵
＝BC︵
D．∠BAC＝30°
,第 11 题图) ,第 12 题图)
12．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，
则∠AOQ＝( D )
A．60° B．65° C．72° D．75°
13．如图，正六边形 ABCDEF 在平面直角坐标系中，以中心为原点，顶点 A，D 在 x 轴上，
且 OA＝4，则点 A 的坐标为__(－4，0)___，点 E 的坐标为__(2，2 3)___．
,第 13 题图) ,第 14 题图)
14．如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 是其对角线 BE 上一动点，连接 PC，
PD，则△PCD 的周长的最小值是__6___．
15．如图，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M.求证：(1)AC∥DE；(2)ME＝
AE.
解：(1)由题意，得∠EDC＝
1
2×3×
360°
5 ＝108°，∠DCA＝
1
2×2×
360°
5 ＝72°，∠EDC＋
∠DCA＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE (2)由题意得∠DEB＝∠EAC＝
1
2×2×
360°
5 ＝72°.
∵AC∥DE，∴∠AME＝∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE
16．如图，⊙O 的半径为 R，六边形 ABCDEF 是圆内接正六边形，四边形 EFGH 是正方
形．
(1)求正六边形与正方形的面积比；
(2)连接 OF，OG，求∠OGF.
解：(1)
3
2 3 (2)∠OGF＝15°
17．如图 1，2，3，…，n，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五
边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDEF…的边 AB，BC 上的点，且 BM＝CN，连接 OM，ON.
(1)求图①中∠MON 的度数；
(2)图②中∠MON 的度数是__90°___，图③中∠MON 的度数是__72°___；
(3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系．(直接写出答案)
解：(1)连接 OA，OB.∵正三角形 ABC 内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠
AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN，又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON(SAS)，∴∠AOM＝∠BON，∴∠
AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOB＝∠MON＝120° (3)∠MON＝
360°
n
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