1
25．3 用频率估计概率
1．一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率
m
n会稳定在某个常数 P 附近，那
么事件 A 发生的概率 P(A)＝__
m
n___，__0___≤P(A)≤__1___．
2．用频率估计概率，其适用范围更广，既可以用于有限的等可能性事件，也可以用于
无限的或可能性不相等的事件．只要试验的次数 n 足够大，频率
m
n就可以作为概率 P 的__近
似值___．
知识点 1：频率与概率的关系
1．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( B )
A．频率等于概率
B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
2．某人做投硬币试验时，投掷 m 次，正面朝 n 次(即正面朝上的频率 P＝
m
n)，则下列说
法正确的是( D )
A．P 一定等于
1
2
B．P 一定不等于
1
2
C．多投一次，P 更接近
1
2
D．投掷次数逐渐增加，P 稳定在
1
2附近
3 ． 在 “ 抛 掷 正 六 面 体 ” 的 试 验 中 ， 正 六 面 体 的 六 个 面 分 别 标 有 数 字
“1”“2”“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋
势是接近__
1
6___．
知识点 2：用频率估计概率
4．在一所有 2000 名学生的小学学校中，随机调查了 300 名学生，其中 269 人认为月球
上有水，那么在这所小学学校里随机问 1 名学生，认为月球上有水的概率约是( A )
A．0.9 B．0.10 C．0.8 D．0.2
5．从某玉米种子中抽取 6 批种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为__0.8___．(精确到 0.1)
6．在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色乒乓球共有 20 个，除颜色外，形状、大小、
质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后，发现其中摸到红色、黑色乒乓球的频率稳定在
5%和 15%，则口袋中白色乒乓球的个数很可能是__16___．
7．一个不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字 3，
4，5，x.甲，乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球，并计算摸出的这 2 个小球上数字之
和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总
次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为2
8”
出现的
频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150
“和为
8”
出现的
频率 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为 8”出现的频率稳定在它的概率附近，
估计“和为 8”出现的概率是__0.33___；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为 9 的概率是
1
3，那么 x 的值可以取 7 吗？请用列
表法或画树状图法说明理由；如果 x 的值不可以取 7，请写出一个符合要求的 x 的值．
解：x 不可以取 7，画树状图(略)，从图中可知，数字和为 9 的概率为
2
12＝
1
6.当 x＝6 时，
摸出的两个小球上数字之和为 9 的概率是
1
3
3
8．为了估计水塘中的鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 30 条鱼，在每条鱼身上做好
记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞 200 条鱼．如果在这 200 条鱼中有 5 条鱼是有
记号的，则鱼塘中鱼的条数估计为( C )
A．3000 条 B．2200 条 C．1200 条 D．600 条
9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、
质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出
一球，记下颜色……如此大量的摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于 20%，摸
出黑球的频率稳定于 50%.对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量的摸球试验，摸出
白球的频率应稳定于 30%；②若从布袋中随机摸出一球，该球是黑球的概率最大；③若再摸
球 100 次，必有 20 次摸出的是红球．其中说法正确的是( B )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆
组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷
小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的频率分别是
0.04，0.2，0.36，如果最大圆的半径是 1 米，那么黑色石子区域的总面积约为__1.88___平
方米．(精确到 0.01 平方米)
11．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行
调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)这种树苗成活的频率稳定在__0.9___，成活的概率估计值为__0.9___；
(2)该地区已经移植这种树苗 5 万棵．
①估计这种树苗成活__4.5___万棵；
②如果该地区计划成活 18 万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
解：18÷0.9－5＝15(万棵)
12．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算
不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出 8 个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要
求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球试验活动一共做了 50 次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号 有记号
红色 黄色 红色 黄色
摸到的次数 18 28 2 2
推测计算：由上述的摸球试验可推算：
(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
(2)盒中有红球多少个？
解：(1)红球占 40%，黄球占 60% (2)设总球数为 x 个，由题意得
8
x＝
4
50，解得 x＝100，
100×40%＝40，即盒中红球有 40 个
13．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别 2 m 和 3 m 的同心圆(如图)，
蒙上眼睛，在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，4
你来当裁判．
(1)你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则
图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．(要求画出图形，说明设计步骤、原理，
写出公式)
解：(1)不公平，因为 P(阴影)＝
9π－4π
9π ＝
5
9.即小红获胜的概率为
5
9，则小明获胜的概
率为
4
9，所以游戏对双方不公平 (2)能用频率估计概率的方法估算非规则图形的面积．设计
方案：①如图，设计一个可测量面积的规则图形，将非规则图形围起来(如正方形面积为 S)；
②往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷石子，掷在图形外不作记录)；③当掷点数充分
大(如 1 万次)记录并统计结果，设掷入正方形内 m 次，其中 n 次掷入非规则图形内；④设非
规则图形面积为 S′，概率 P(掷入非规则图形内)＝
S′
S ，故
n
m≈
S′
S ，∴S′≈
nS
m
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